SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 tự học một số bất đẳng thức quen thuộc

Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc. Lớp 9A (45hs) 8A (44hs) 8B (45hs) 7A (48hs) 7B (47hs) trớc khi đến lớp 1/45=2,2% 0/45=0% 1/45=2,2% 3/48=6,3% 2/47=4,3% học trên lớp 20/45=44,5% 23/44=52,3% 22/45=49% 31/48=64,6% 19/47=40,4% của giáo viên 24/45=53.3% 21/44=47,7% 22/45=48,8% 14/48=29,1% 26/47=55,3% ĐáNH GIá CáC KếT QUả ĐIềU TRA Hầu hết học sinh không đọc bài mới trớc khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy các em có chung câu trả lời là khó, với lại hôm sau đã đợc Thầy dạy rồi!. Có nhiều em tự học thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do Thầy ra thêm bài tập về nhà ở tài liệu này... 2.2 Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học sinh thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh 2.2.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trờng THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: Em có thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không? nguyên nhân?(em có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em Mẫu phiếu: 1* Không thích Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó c) Do tài liệu có nhiều chỗ không có trong SGK. 2* Thích Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải b) Do tài liệu có sẵn hớng dẫn giải c) Do có nhiều vấn đề mở rộng Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy: 1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu Có 55% phiếu có chọn không thích - trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn lý do b) và 14% chọn lý do c) 2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c). 2.2.2. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trờng THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: Em học đợc khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong khoảng các mứ c dới đây) a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15% Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: BùiThuongThuong69@gmail.com - 11 - Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc. c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50% e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100% Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy: Phơng án Số lợng a 9 b 14 c 20 d 34 e 53 f 22 ĐáNH GIá CáC KếT QUả ĐIềU TRA *1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả tài liệu gồm bài tập của thầy có hớng dẫn giải. *2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải, với loại tài liệu này số lợng học sinh học đợc từ 50% nội dung trở lên chiếm phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, đợc các em đón nhận nhiều. Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp viết các chuyên đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh. CHƯƠNG III- bất đẳng thức quen thuộc Chủ đề 1: Bất đẳng thức Cô-si I- Đặc điểm nhận dạng. Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: BùiThuongThuong69@gmail.com - 12 - Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc. 1) Xét bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x, y đợc viết dới 3 dạng sau: 2 x + y 2 xy (2.1) 2 2 x+ y ữ xy (2.2) 2 x + y 2 xy (2.3) Có thể nhận thấy có đặc điểm điển hình sau: *1) Vai trò các biến nh nhau. *2) Bậc đối với tập hợp các biến ở hai vế bằng nhau. *3) Bậc đối với từng biến giảm 2 lần theo chiều . *4) Tổng Tích. 2) Tơng tự nh vậy đối với bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm x, y, zđợc viết dới 3 dạng sau: 3 x 3 + y 3 + z 3 3xyz (3.1) x+ y+z ữ 3 xyz (3.2) 3 x + y + z 3 ì3 xyz (3.3) Chỉ có đặc điểm *3) là khác ở chỗ: Bậc đối với từng biến giảm 3 lần theo chiều . Bạn hãy tự tìm hiểu các đặc điểm trên đối với bất đẳng thức Cô-si nhiều số nhé. Chẳng hạn với BĐT Cô-si cho 4 số không âm: 3) Bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm có thể suy ra từ BĐT Cô-si cho 2 số không âm. Thật vậy Cho 4 số không âm x, y, z, t. áp dụng liên tiếp BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có: 2.1 x + y + z + t 2 xy + 2 zt 2.2 2.2 x 4 + y 4 + z 4 + t 4 2 x 2 y 2 + 2 z 2 t 2 = 2 x 2 y 2 + z2 t 2 2.2 xyzt = 4 xyzt xy . zt = 4 ( xyzt ) 4) Vấn đề đặt ra là Tìm hiểu về đặc điểm điển hình để làm gì? Nếu bạn nắm vững đặc điểm điển hình thì giúp bạn cảm nhận đợc hớng giải quyết tức là định hớng đợc t duy cho mình. Dới đây là một số ví dụ điển hình. II- Ví dụ và bài tập vận dụng. 1- Ví dụ điển hình. Ví dụ 1: Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh a + b + c ab + bc + ca . Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: BùiThuongThuong69@gmail.com - 13 - Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc. ? Nghĩ nh thế nào? Bạn nghĩ nh thế nào ? Còn tôi tự cảm nhận thấy bậc hai vế bằng nhau! Với tôi quan niệm về bậc rất đặc biệt, nếu ab là đơn thức bậc 2 thì tôi quan niệm ab có bậc 1. Điều này giống nh là khi ta quan niệm a, b có đơn vị là m (mét) thì ab có đơn vị là m2 (mét vuông) và do vậy ab có đơn vị là m (mét) vậy. Đôi khi tôi còn quan niệm a2 là một biểu thức bậc 2 đối với a và bậc 1 đối với tập hợp các biến a, b, c. b+c Điều này có thể bạn sẽ cời tôi vì làm gì có bậc đối với biểu thức a2 ! Nhng tôi là b+c vậy, sự linh hoạt trong suy nghĩ giúp tôi giải quyết đợc nhiều bài. Trở lại bài toán ban đầu, chính đặc điểm 3 giúp tôi nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm (bậc từng biến giảm 2 lần mà!). Nhng vế trái có 3 số thì ta làm nh thế nào? Ta cần làm tăng số lợng chẳng hạn bằng cách nhân hai vế BĐT với cùng một số hoặc kết quả đó từ nhiều bất đẳng thức... Ta có lời giải sau: Ta có 2 ( a+b+c ) = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta được: 2 ( a+b+c ) = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 2 ab + 2 bc + 2 ca suy ra a + b + c ab + bc + ca Ta có thể trình bày bài toán ở dạng khác: áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta được: a+b 2 ab ; b + c 2 bc ; c + a 2 ac Cộng 3 bất đẳng thức trên tương ứng các vế ta được: 2 ( a+b+c ) 2 ab + 2 bc + 2 ca hay a + b + c ab + bc + ca . Ví dụ 2: Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc . ? Nghĩ nh thế nào? Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy bậc hai vế đối với tập các biến là nh nhau, bậc đối với từng biến thì sao? Chẳng hạn biến a vế trái có bậc 2 (nếu ta thực hiện khai triển). Nh vậy với chiều thì biến a giảm 2 lần. Điều này gợi ý cho tôi sử dụng BĐT Cô-si 2 số. Ta có lời giải sau: Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: BùiThuongThuong69@gmail.com - 14 - Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc. áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta được: a+b 2 ab ; b + c 2 bc ; c + a 2 ac Nhân 3 bất đẳng thức trên (các BĐT hai vế không âm, cùng chiều) tương ứng các vế ta được: ( a+b ) ( b + c ) ( c + a ) 8 ab bc ca = 8abc Ví dụ 3: Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh a 4 + b 4 + c 4 abc ? Nghĩ nh thế nào? Nhìn vào BĐT ta thấy bậc của hai vế không bằng nhau. Tuy nhiên điều gây ấn tợng mạnh cho ta là Tổng Tích đồng thời bậc từng biến giảm! Điều này gợi cho ta nghĩ tới việc sử dụng BĐT Cô-si. Trớc hết ta làm cho hai vế cân bằng bậc (nguyên nhân bậc không cân bằng là do các biến bị ràng buộc bởi điều kiện). Một cách quen thuộc ta viết abc = ( a + b + c ) abc vì a + b + c = 1 . 4 4 4 4 4 4 2 2 2 BĐT trở thành a + b + c abc ( a + b + c ) hay a + b + c a bc + b ac + c ab . Để xuất hiện tích a2 bc từ a4, b4, c4 ta thấy theo chiều thì bậc biến b, c giảm 4 lần còn biến a giảm 2 lần. Nh vậy ta sử dụng BĐT Cô-si cho 4 số (hai lần hai số). Ta có lời giải sau: áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta được: (x 4 ) ( ) ( ) + y 4 + z 4 + t 4 2 x 2 y 2 + 2 z2 t 2 = 2 x 2 y 2 + z 2 t 2 4 xyzt (*) áp dụng (*) ta đợc a 4 + a 4 + b 4 + c 4 = 4 aabc = 4 a 2 bc . Tơng tự ta cũng có: a 4 + b 4 + b 4 + c 4 4 abbc = 4 b 2 ac và a 4 + b 4 + c 4 + c 4 4abcc = 4c 2 bc . Cộng các BĐT trên ta đợc ( ) ( 4 a 4 + b 4 + c 4 4 a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab ) hay a 4 + b 4 + c 4 abc ( a + b + c ) = abc Lời bình: Tính chất về bậc cân bằng hai vế trong BĐT này đã bị mất đi. Nguyên nhân do các biến đã bị ràng buộc bởi một điều kiện. Trong nhiều tình huống tính chất về bậc không còn rõ nét nữa. Dới đây là một vài ví dụ: Ví dụ 4: Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn a+b+c =3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = a2 + b2 + c2 B = a 3 + b3 + c3 ? Nghĩ nh thế nào? Xét biểu thức A. Ta cần chiều biến đổi " " từ a 2 + b 2 + c 2 Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: BùiThuongThuong69@gmail.com - 15 - Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc. đánh giá về a+b+c. Xét các đặc điểm điển hình ta nghĩ ngay tới việc sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (vì bậc giảm 2 lần mà!). Vấn đề là chọn 2 số nào? Ta thấy chắc chắn có a2. Giả sử số thứ hai là k2, ta có a 2 + k 2 2ak mà kết quả ta hớng tới là biến a có số mũ là 1 (theo điều kiện của bài) nên k là hằng số. Mặt khác do a, b, c có vai trò nh nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c=1 (theo điều kiện a+b+c=3) do vậy k=1. Từ đó ta có lời giải sau: áp dụng BĐT Cô-si ta có a 2 + 12 2 a; b2 + 12 2 b ; c 2 + 12 2c Cộng ba BĐT trên tương ứng các vế ta được a 2 + b2 + c 2 + 3 2 ( a + b + c ) = 6 a 2 + b2 + c 2 3 (dấu "=" xảy ra ví dụ khi a=b=c=1). Vậy Min A là 3 * Với những suy nghĩ tơng tự bạn có thể tìm đợc hớng giải quyết khi tìm Min B Cùng với hớng suy nghĩ trên, ta xét thêm ví dụ sau: 3 Ví dụ 5: Cho 3 số dơng a, b, c thỏa mãn a2 + b 2 + c 2 = . 4 3 3 3 Tìm Min M = a + b + c . ? Nghĩ nh thế nào? Thoạt nhìn ta thấy yêu cầu bài cần đánh giá từ bậc 3 hớng tới bậc 2 theo chiều " " . So với đặc điểm điển hình thì vớng chính ở điểm này. Câu hỏi đặt ra là sử dụng Cô-si nh thế nào để có thể hạ đợc từ bậc 3 xuống bậc 2? áp dụng BĐT Côsi cho 3 số trong đó chắc chắn có a3, hai số còn lại ta chọn là k3 và m3 . Ta có a3 + k 3 + m 3 3akm. Để hớng tới a2 rõ ràng ta cần chọn k=a và m là hằng số. 1 Vì a, b, c có vai trò nh nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi a = b = c = 2 3 (theo điều kiện a2 + b 2 + c 2 = ). Trong BĐT Cô-si, dấu = xảy ra khi các số bằng 4 1 nhau nên m = . Ta có lời giải sau: 2 3 1 3 1 3 3 áp dụng BĐT Cô-si ta có a + a + ữ 3aa = a 2 . 2 2 2 3 3 1 3 1 3 Tơng tự ta có b + b + ữ b 2 và c 3 + c 3 + ữ c 2 . 2 2 2 2 Từ ba BĐT trên ta đợc: 3 3 Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: BùiThuongThuong69@gmail.com - 16 -