Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh hưng yên năm học 2013 2014(có đáp án)

Cho 19 im nm trong hay trờn cnh ca mt lc giỏc u cnh bng 4 cm. Chng minh rng luụn tn ti 2 trong s 19 im ó cho m khong cỏch gia chỳng khụng vt quỏ 4 3 3 cm. --------------------Ht------------------Thớ sinh khụng c s dng ti liu v mỏy tớnh cm tay. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ..........................................; S bỏo danh: ..................................... Hớng dẫn chấm Sở giáo dục và đào tạo Hng yên đề thi chọn học sinh giỏi THCS Năm học 2013 - 2014 đề chính thức Môn toán lp 9 ( Hớng dẫn chấm gồm 4 trang) Chỳ ý: 1) Hng dn chm ny trỡnh by cỏc bc gii v cỏch cho im tng phn ca mi cõu. Bi lm ca hc sinh yờu cu phi chi tit, lp lun cht ch. Nu hc sinh gii cỏch khỏc m ỳng thỡ chm im tng phn tng ng. 2) Vic chi tit húa ( nu cú) thang im trong hng dn chm phi bo m khụng lm sai lch hng dn chm v phi c thng nht thc hin trong t chm. Cõu Cõu I 1 x= 3,0 2 im Cho Hng dn chm v kt qu 2 1 2 +1 , (4 x + 4 x x + 1) + 5 4 3 19 ( tớnh A = x= im 2 1 1 2 2 +1 Ta cú = 4x + 4x 1 = 0 1 ( 2 1) 2 2 ) 1 2x 4 x + 4 x 5x + 5x + 3 + 2 2x + 2x 5 = 4 2 1 2 3 3 2014 . 1,0 2x = 2 1 2x + 1 = 2 2 (a) Do ú: 0,5 4 x + 4 x x + 1 = x (4 x + 4 x 1) + 1 = 1 5 4 3 3 2 2 4 x 5 + 4 x 4 5 x 3 + 5 x + 3 = x 3 (4 x + 4 x 1) 2 - 2 x (4 x + 4 x 1) + (4 x 2 + 4 x 1) 0,5 +4 = 4  2x2 + 2x = T (a) 1 2x 2x + 2x 2 Do ú A = = 1 1 2x 2 + 2x = 2 2 1 2x = 2 2x = 1 1 2 119 + ( 4) 3 Cõu II.1 2,0 im 0,5 + 12014 = 10 x, y Tỡm cỏc s nguyờn tha món 2 xy + 4 x + 2 y + 1 > 5 x 2 + 2 y 2 5 x + 2 y 2 xy + 4 x + 2 y 2 x, y Vỡ ; 0,5 2 2x = 1 nguyờn nờn ta cú: . 2 0,5 (*) ( x 2 xy + y ) + (4 x 4 x + 1) + ( y 2 y + 1) 2 2 2 2 2 ( x y ) 2 + (2 x 1) 2 + ( y 1) 2 2 (2 x 1) 2 2 Ta cú Vi x=0 thỡ (*) , 2x 1 x = 0 (2 x 1) = 1 x =1 l y = 0 y ( y 1) 0 0 y 1 y =1 0,5 ( tha món) 2 y 4 y + 1 0 2( y 1) 1 y = 1 x = 1 thỡ (*) Vi ( tha món) ( x, y ) = (0;0); (0;1); (1;1) 2 Vy 0,5 2 2 0,5 . Cõu II.2 3,0 im Gii h 4x3 y 3 = x + 2 y (1) 2 2 52 x 82 xy + 21 y = 9 (2) Nhõn v trỏi ca (1) vi v phi ca (2) v nhõn v phi ca (1) vi v trỏi ca (2) ta cú: 0,5 (9)( 4 x 3 y 3 ) = ( x + 2 y )(52 x 2 82 xy + 21 y 2 ) 3 3 2 2 (9)( 4 x y ) ( x + 2 y )(52 x 82 xy + 21 y ) = 0 3 2 2 3 8 x + 2 x y 13 xy + 3 y = 0 3 2 2 2 3 2 (8 x 8 xy ) + (2 x y 2 xy ) (3 y + 3 y x) = 0 2 2 2 8 x( x y ) + 2 xy ( x y ) 3 y ( x y ) = 0 3 0,5  ( x y )(8 x + 10 xy 3 y ) = 0 2 2 ( x y )( 4 x y )( 2 x + 3 y ) = 0 0,5 ( th vo h khụng tha món) 0,5 Bin i nhn c phng trỡnh: Vi Vi Vi x=y ( x; y ) = (1;1); (1;1) y = 4x tỡm c nguyờn a 0,5 ( th vo h khụng tha món) ( x; y ) = (0;0) 0,5 ( th vo h khụng tha món) ( x; y ) = (1;1); (1;1) Vy h cú nghim Cho parabol (P): ( th vo h thy tha món) ( x; y ) = (0;0) tỡm c 2 y= x 3 Cõu III.1 2,0 im ( x; y ) = (0;0) tỡm c y = 2x 2 v ng thng (d): y = ax + a 2 . Tỡm s sao cho (d) ct (P) ti hai im phõn bit A, B tha món AB = 5 . Phng trỡnh honh giao im ca (d) v (P) l: 2 x 2 + ax + a 2 = 0 (3) cú Vi a4 = ( a 4) 0,5 (3) 2 x = 1; thỡ (3) cú hai nghim phõn bit 2a 2 l honh cỏc im A, B 2 a (2 a ) ; ) 2 2 2 Khi ú A ( 1;2) ( ; B 0,5 2 Do ú AB = 5 AB2 = 5 ( (2 a ) 2 2a + 1) 2 + 2 + 2 = 5 2 ( 4 a ) 2 ( a 2 4a ) 2 + =5 a 4 8a 3 + 17a 2 8a 4 = 0 4 4 0,5 a=2 3 2 (a 2)( a 6a + 5a + 2) = 0 a 6 a + 5a + 2 = 0 3 a nguyờn tha món Th 4 2 Vy a = 1; 2 a=2 a 3 6a 2 + 5a + 2 = 0 (4) thỡ vo (4) thy khụng tha món. l giỏ tr cn tỡm. a l c ca 2 a = 1; 2 0,5 Cõu III.2 2,0 im Cho a, b, c > 0 a + 2b + 3c 10 a+b+c+ , chng minh rng : 3 9 1 13 + + 4a 8b c 2 S dng bt ng thc Cụsi cho 2 s dng ta cú: a+ 1 3 1 3 2 (a + ) a 4 a 2 1,0 b+ 9 9 2 = 3 1 (b + 9 ) 3 4b 4 2 4b 2 c+ 4 1 4 2 4 = 4 (c + ) 1 c 4 c 3 1 1 3 9 1 a+ b+ c+ + + 4 4 2 4 4a 8b c Cng v vi v 3 bt ng thc trờn ta cú: T a + 2b + 3c 10 T (3) v (4) suy ra ta cú 1 1 3 a + 2b + 3c 5 a+ b+ c = 4 2 4 4 2 3 9 1 13 a+b+c+ + + 4a 8b c 2 (3) 0,5 (4) 0,5 (pcm) 3 a = 1; b = ; c = 2 2 ( Du bng xy ra khi ) Lu ý: Hc sinh khụng nht thit phi ch ra du bng Cõu IV 6,0 im A D K E M H B I I C 1. Ta cú: 5 AEH = ADH = 90 0 AEHD ni tip (5) 0,5 Li cú: T giỏc BEKI ni tip T giỏc DKIC EKI = 180 0 ABC DKI = 180 0 ACB ni tip 1,0 EKD = 360 0 EKI DKI do ú: = = 360 0 (180 0 ABC) (180 0 ACB) ABC + ACB = 180 0 BAC EKD + BAC = 180 AEKD 0 A, E , H , K , D T (5) v (6) suy ra ni tip (6) thuc mt ng trũn. 2. Ta cú: BEC = BDC = 90 0 T (6) ADE = AKE T (7) v (8) vuụng ti D IDC = ICD AID cú T giỏc cú DKIC ni tip l trung tuyn (10) ID = IC IDC cõn AEKD ni tip (11) IAC = KED KED = ICK MEKC gia chỳng khụng vt quỏ 6 0,5 0,5 DIA = KCD (12) ni tip. Cho 19 im nm trong hay trờn cnh ca mt lc giỏc u cnh bng 4cm. Chng minh rng luụn tn ti 2 trong s 19 im ó cho m khong cỏch 2,0 im 1,0 thng hng. IAC = ICK T (11) v (12) suy ra Cõu V 1,0 (9) 0 EKI + AKE = 180 0 A, K , I DI (7) DIA + IAC = IDC = ICD = KCD + ICK M t giỏc Do ú ni tip ADE = ABC (8) EKI + ABC = 180 T (9) v (10) suy ra BDC T giỏc BEDC ABC = AKE T giỏc BEKI ni tip 3. 0,5 4 3 3 cm. 0,5 0,5