Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh thanh hóa năm học 2013 2014(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21/03/2014 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý I 1 Điều kiện: (4,0đ) (2,5đ) Lời giải (vắn tắt) xy ≠ 1 . ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy ) : ( xy + 1) ( 1 − xy ) ( xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy ) = ( xy + 1) ( 1 − xy ) ( x + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy ) = = ( xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy ) A= = ( ( ) ( x + 1) 1 − xy + 0,25 xy + x 1+ x = 1 . x y + xy xy 0,50 0,50 1,25 2 6= 1 + 1 ≥2 (1,5đ) Theo Côsi, ta có: x y Dấu bằng xảy ra ⇔ Điểm 1 ⇒ 1 ≤9 . xy xy 1 1 = 1 ⇔x=y= . x y 9 Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = 1 . 9 II 1 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: (5,0đ) (2,5đ) ∆''> 0 ⇔ ( m − 2 ) 2 − ( m 2 − 2m + 4) > 0 ⇔ m < 0 (*)  x1 + x2 = 4 − 2m m 0 nên suy ra: k + 1 – ka ≥ 0 ⇒ k + 1 ≥ ka ⇒ 1 ≥ k(a – 1) (4) Vì a – 1 ≥ 0 (do a ∈ , a > 0) và k ∈ , k > 0 nên từ (4) có: 2 2 0,50 2 2 a = 1  k(a − 1) = 0   k(a − 1) = 1 ⇔  a = 2   k = 1  0,50 0,50 0,25 - Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2 ⇔  m − 1 = 2   b − 1 = 1 ⇔  b = 2 b = 3  m − 1 = 1    b − 1 = 2  Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3. - Với a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 ⇔ 0,25 b = 1 m = 1 .  2 (2,0đ) Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1. Khi m = 1: Từ (1) suy ra a + k = b ⇒ b = 3. Lúc này được: a = 2, b = 3. Tóm lại, có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1). Ta có x + 2 3 = y + z ⇔ x + 2 3 = y + z + 2 yz ⇔ ( x − y − z ) + 2 3 = 2 yz ⇒ ( x − y − z ) + 4 3 ( x − y − z ) + 12 = 4 yz (1) 2 2 4 yz − ( x − y − z ) − 12 TH1. Nếu x − y − z ≠ 0 Ta có 3 = (2) vô lý 4( x − y − z ) ( do x, y, z ∈ N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ). 0,25 0,25 0,50 0,50 x − y − z = 0 (3)  yz = 3 TH2. x − y − z = 0 khi đó (1) ⇔  x = 4 x = 4   Giải (3) ra ta được  y = 1 hoặc  y = 3 thử lại thỏa mãn z = 3 z = 1   IV (6,0đ) 0.50 0,50 E 1 (2.5đ) D I H A F C M 0,50 0,50 O B Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên · AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · hay FMB = 900 . · · · Mặt khác FCB = 900 (giả thiết).Do đó FMB·+ FCB = 1800 . · ⇒ CBM = EFM ( 1) (vì cùng bù với · Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp CFM ). · · Mặt khác CBM = EMF ( 2 ) (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và 0,50 0,50 0,50 · · ¼ dây cung cùng chắn AM ). Từ (1) và (2) ⇒ EFM = EMF . Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E. · · · (Có thể nhận ra ngay EMF = MBA = MFE nên suy ra EMF cân) · DIF · DIH = ( 3) . Gọị H đường tròn ( I )của có: ·Suy ravà ·· và · là Trong là trung điểm ta DF. DMF lượt DIF lần 1 DIF góc2nội tiếp và DMF = IH ⊥ DF góc (3)tâm (4) suy ra ·cung DF. Suy ra · (4). · · Từ ở và cùng chắnDMF = DIH hay DMA = 2 DIH . · · Trong đường tròn ( O ) ta có: DMA = DBA (góc nội tiếp cùng chắn » DA ) · · Suy ra DBA = DIH . Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó · · · · DBA + HIB = 180o ⇒ DIH + HIB = 180o ⇒ Ba điểm D, I, B thẳng hàng. 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 1 · · » Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng ⇒1ABI = ABD = 2 sđ AD . » ⇒ AD 2 Mà C góc ABI có số đo không 2 sđ Do đó cố định nên D cố định đổi khi Mkhông đổi. cung BD. thay đổi trên (2.5đ) 0,50 0,50 1 − 2xy 1 + 1 = 1 + 1 = xy 1 − 3xy xy xy(1 − 3xy) . (x + y) − 3xy(x + y) (x + y) 2 1 Theo Côsi: xy ≤ = . 4 4 1 − 2xy Gọi Bo là một giá trị của B, khi đó, ∃x, y để: Bo = xy(1 − 3xy) ⇔ Ta có: B = 3 0.25 ⇔ 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0 (1) Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy ⇔ ∆ = Bo2 – 8Bo + 4 ≥ 0 ⇔ 0.25  Bo ≥ 4 + 2 3   Bo ≤ 4 − 2 3  V(1đ) Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0. Do đó ta có: Bo ≥ 4 + 2 3 . 2 + Bo 3 + 3 ⇒ x(1 − x) = 3 + 3 Với Bo = 4 + 2 3 ⇒ xy = 6B = ⇔ o 6( 2 + 3) 6( 2 + 3) 0.25 2 3 2 3 1+ −1 1− −1 ⇔ x2 − x + 3 + 3 = 0 ⇔ x = . 3 3 ,x = 2 2 6( 2 + 3) Vậy, Bmin = 4 + 2 3 , đạt được khi x= 2 3 2 3 1− −1 1+ −1 . hoặc 3 3 x= , y= 2 2 1+ 2 3 2 3 −1 1− −1 3 3 , y= 2 2 0.25 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.