Đề thi học sinh giỏi tỉnh bắc giang môn toán lớp 11 năm học 2013 2014 (có đáp án)

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HDC ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) NGÀY THI 29/3/2014 Hướng dẫn giải Câu Câu 1 Xét sin x 0 x k ,k Xét sin x 0 x k ,k Điểm (4đ) . Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn. (*). 0.5 Nhân hai vế của phương trình đã cho với sin x Phương trình tương đương với sin 9 x sin x 2 cos10x sin x 1.1. (2.0 điểm) cos 6x sin 5x x 0 m x 12 sin11x 5 sin x 0 , m, n n 0.5 6 x Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là x m 5k; m, n, k 0.5 m 12 sin x  1  sin 7 x  2sin 2 2 x  sin x  1  sin 7 x  1  cos4x  2cos4x sin 3x  cos4x 1  cos4x=0 hoặc sin 3x  2 x x x 8 18 5 18 , n 6 0.5 . sin x ; sin 2 2 x ; 1  sin 7 x lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1.2 (2.0 điểm) 5 0.5 0.5 0.5 k 4 2 , k k 3 2 k 3 . 0.5 KL. (6đ) Câu 2 2.1 (2.0 điểm) Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là | | 45 0.5 Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là C 53 Số cách chọn một toa để xếp ba người này là C 1 4 4 10 . 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là A2 3 Suy ra | | 10.4.6 A 2.2 (2.0 điểm) 2.3 (2.0 điểm) Ta có (1 | | | A | 240 45 1 (2x+1)6 .(2x+1)15 64 2x )21 0.5 240 Vậy xác suất cần tìm là P Ta có f (x ) 6 21 15 . 64 1 (1 64 0.5 2x)21 . 0.5 k C 21 2k x k 0.5 k 0 13 Hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển của (2x+1)21 là C 21 213 0.5 13 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển thành đa thức của f (x ) là 1 13 13 13 C 21 2 C 21 27 26046720 64 Ta có Pk Pk 1 k ! (k 1)! (k 1)! k 1 (k 1)Pk 1 , k = 1, 2,... (*) Áp dụng (*) ta có P2 (**) P1 P1, P3 P2 2P2, , Pn 1 Pn Cộng các đẳng thức ở (**) ta được Pn 1 P1 P1 2P2 Do P1 1 nên Pn 1 1 P1 2P2 nPn Khi đó điều kiện đã cho thành Pn 1 P2014 n 1 2014 Kết luận. 0.5 nPn nPn . n 0.5 0.5 2013. 0.5 (2 đ) Câu 3 lim x 2014 lim x  2014 x+2013  x  1 x 1 2.0 điểm 0.5 (x 2013 1 lim x 2012 x 1 2013 2  lim (x 2014  1)  2014( x  1)  x  1 x 1 (x 2012 1) x 1 2011 x x 1 x x   x  1  2014 x 1 1) x 2011 2014.2013 2 1  lim 2012 x 1 (x 1) 2012 2 2013 0.5 0.5 x 1 (x 2027091. 1) 1 0.5 0.5 (6đ) Câu 4 O 4.1 (2.0 điểm) A E I B Gọi E là trung điểm của AB khi đó IA IB 2IE suy ra IM 2IE 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có OE và AB vuông góc suy ra E thuộc đường tròn đường kính OI. Xét phép vị tự tâm I tỉ số 2 biến điểm E thành điểm M; Gọi (C) là đường tròn đường kính OI. Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C'') là ảnh của đường (C) qua VI2 hay (C'') là đường tròn tâm O bán kính OI. A 0.5 0.5 0.5 B O C D I A'' 4.2a (2 .0 điểm) B'' N E M D'' O'' C'' Gọi O là giao điểm của AC và BD Suy ra AC vuông góc với BD; CC'' vuông góc với BD theo giả thiết. BD (ACC''A'') . Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC''A''). 0.5 Góc (BE, (ACC''A'')) = góc (BE, OE) = góc BEO. 0.5 Xét tam giác EOO'' vuông tại O'', tính được EO a 15 . 4 2 15 . 15 15 Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC''A'') là . 19 0.5 Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được tan BEO= 4.2b (2.0 điểm) Câu 5 Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC'' (1) Gọi O'' là trung điểm của A''C''; I là giao điểm của OO'' và AC''. Chứng minh được tam giác OO''E và tam giác AOI bằng nhau. EOO''+OIA 900 Suy ra OAI=EOO''; OAI+OIA 900 Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC'' (2) Từ (1) và (2) suy ra AC'' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (2đ) http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có v2 u1v1 u1 u2 ab v1 b a b a uk vk 2.0 điểm uk v1 v2 vk 1 uk 1.vk 1 2 uk v k 1 uk 1 vk vk u1 vk (do uk 1 u2 1 ... uk vk 1 ) vk ; vk 0.5 uk . 2 ... vk ; 0.5 u1 ... 2 2 Chứng minh bằng quy nạp v1 v2 uk v1 1 uk 1 uk ...u1 . Vậy (un ) giảm và bị chặn dưới; (vn ) tăng và bị chặn trên nên tồn tại lim un un un 1 Vậy lim un vn 2 2 lim vn 0.5 lim vn ; . 0.5 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.