Đề thi học sinh giỏi huyện tĩnh gia môn toán 9 năm học 2015 2016(có đáp án)

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 Mơn thi: Tốn - Lớp 9 Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/12/2015 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu Ý 1 Điều kiện: (0.5đ) Lời giải Điểm 0.5 x ≥ 0  x ≠ 1  3x + 9 x − 3  1 1 1 A =  + + − 2÷ ÷: x − 1 x −1 x +2  x+ x −2  I (4.0đ) = ( ( = ( =( 2 (2.0đ) x ≥ 0 x ≠ 1 x+3 x +2 )( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ×( x − 1) ) x + 2) ×( x + 2) x −1 x +2 1.0 0.5 0.5 )( ) x −1 x +1 2 Với ĐK:  Ta có: A = Vì A = 3 (1.5đ) ( ( ) 2 0.5 2 x + 1 ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 2 = Do đó: A Mà ) x +1 ( 2 ) x +1 x + 1 > 0 nên 2 ∈N ( ( ) ) ( 2 ) x +1 2 x + 1 = 1 hoặc x + 1 = 1 hoặc Do đó: x = 0 hoặc x = Vậy khi 0< ( 2 ≤2 0.25 0.25 ) 2 x +1 = 2 x +1 = 2 . 0.25 2 2 −1 = 3 − 2 2 2 là số tự nhiên khi x = 0 hoặc x = 3 − 2 2 A Giải phương trình: x + 1 − 3x = 2 x − 1 (1) ĐK: x ≥ 0 Đặt a = 3x , b = x + 1, ( a, b ≥ 0 ) 1 Khi đó ta được PT: b − a = a 2 − b 2 ⇔ (a − b)(a + b + 1) = 0 (2.0đ) Mà a + b + 1 > 0 nên a = b. Do đó (1) ⇔ 3 x = x + 1 ⇔ 3x = x + 1 ⇔ x = II (4.0đ) 0.25 Vậy nghiệm của PT là x = 1 ( t / m) 2 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 1 2 2 (2.0đ) Ta có: p2 -2q2 = 1 ⇒ p2 =2q2 + 1 ⇒ p lẻ. Đặt p = 2k+1 (k ∈ N*) ⇒ (2k+1)2 = 2q2 + 1 ⇒ q2 = 2(k2+k) 0.5 0.75 0.5 ⇒ q chẵn mà q ngun tố nên q = 2 ⇒ p = 3 (thỏa mãn) 0.25 Vây cặp số ngun tố (p;q) cần tìm là (3;2) III (4.0đ) 2a (1.5đ) 2b (2.5đ) Tìm được A(0;3); B(0;7) suy ra I(0;5) 0.75 0.75 Hồnh độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7 ⇒ x = -2 ⇒ yJ = 1 ⇒ J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 ⇒ OJ2 + IJ2 = OI2 ⇒ tam giác OIJ là tam giác vng tại J 0.5 0.5 0.75 0.25 0.5 ⇒ S ∆OIJ = 1 1 OJ ×IJ = × 5 × 20 = 5 (đvdt) 2 2 IV (6.0đ) 1 (2.0đ) Vì CD ⊥ AB ⇒ CM=MD tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành mà AE ⊥ CD ⇒ tứ giác ACED hình thoi. 0.75 0.5 0.75 Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại C suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có: 2 (2.0 đ) MA ×MC MH ×AC=MA ×MC ⇒ MH= AC MB ×MC tương tự ta có: MK= BC MA ×MB ×MC2 ⇒ MH ×MK= AC ×BC 2 mà MA.MB=MC , AC.BC=MC.AB (do tam giác ABC vuông tại C) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 MC2 ×MC2 MC3 MH ×MK MC ⇒ MH ×MK= = ⇒ = MC ×AB AB MC 2 AB mà MC=HK (do CHMK là hình chữ nhật) MH ×MK MC 2MC CD = = = HK ×MC AB 2AB 4R HM MK CD Vậy: × = (Đpcm) HK MC 4R ⇒ 3 Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định. (2.0 đ) Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường. Do đó O’C’ = OC = R khơng đổi Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’,R) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB. Vì a + b + c = 1 nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) V (2.0đ) a + bc = a (a + b + c) + bc = (b + a )(b + c ) b + ac = a (a + b + c ) + ac = (a + b)(a + c) Nên BĐT cần chứng minh tương đương với: (c + a)(c + b) (b + a )(b + c ) (a + b)(a + c ) + + ≥2 a +b a+c b+c 2 2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 2  (c + a )(c + b)   (b + a )(b + c )   (a + b)(a + c)  ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥2 a +b a+c b+c       2 2 2 Mặt khác dễ thấy: x + y + z ≥ xy + yz + zx , với mọi x, y, z. (*) Áp dụng (*) ta có: 0.25 0.25 VT ≥ b + c + a + b + c + a = 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 ⇒ Đpcm. 3 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Bài hình khơng vẽ hình thì khơng chấm điểm.