Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố hải dương năm học 2015 2016(có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016 Ý Nội dung Điểm TP Tổng điểm Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9. Ta có : 2 x −9 x + 3 2 x +1 − − x−5 x +6 x − 2 3− x A= 1 = 2 x −9 x + 3 2 x +1 − + ( x − 2)( x − 3) x −2 x −3 = 2 x − 9 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) a = x− x −2 ( x − 2)( x − 3) ( x + 1)( x − 2) = ( x − 2)( x − 3) = x +1 x −3 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 Ta có B = xyz + x 2 y - x 2 z - y 3 + yz 2 - xz 2 = ( x 2 y - x 2 z) + ( xyz - xz 2 ) - (y 3 - yz 2 ) b = x 2 ( y − z ) + xz ( y − z ) − y ( y − z ).( y + z ) = ( y − z ).( x 2 + xz − y 2 − yz ) = ( y − z ).[ ( x − y ).( x + y) + z ( x − y ) ] = ( y − z ).( x − y ).( x + y + z ) 2 a Xét đường thẳng (d): y= (2m-1)x + 3 + 2m . - Tìm được điểm cố định là A( -1;4). - Lập được phương trình đường thẳng OA là: y = -4x - Khẳng định: Khoảng cách từ O đến (d) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (d) vuông góc với OA. 5 - Khi đó (2m – 1).(-4) = -1 ⇔ m = và giá trị lớn nhất của khoảng 8 cách từ O đến (d) là 17 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0.25 Xét phương trình: ⇔ x - 4 + 6 - x + 10x = x 2 + 27 x - 4 + 6 - x = x 2 - 10x + 27 ĐKXĐ: 4 ≤ x ≤ 6 b Chứng minh được vế trái Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 5 Chứng minh được vế phải x 2 - 10x + 27 ≥ 2 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 5 Khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 Từ 2016xy = x + y => 20162 xy – 2016x – 2016 y = 0. 3 a  ( 2016 x – 1) . ( 2016 y – 1) = 1. Do x và y là các số nguyên nên giải phương trình trên ta suy ra được Cặp số nguyên ( x; y) = (0;0) Ta có ( x + y + z − 1)3 = [ ( x − 1 + y + z ) ] 0,25 x-4 + 6-x ≤2 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 1,0 3 = ( x − 1)3 + y 3 + 3( x − 1) y ( x − 1 + y )  + z 3 + 3( x − 1 + y ) 2 z + 3( x − 1 + y ) z 2 = 3 z 3 + 3( x − 1) y ( x − 1 + y ) + 3( x − 1 + y ) 2 z + 3( x − 1 + y ) z 2 M 3 0,25 ( do (x -1) 3 + y 3 = 2z 3 ) b => ( x -1 + y + z) chia hết cho 3 Vì x − 1 + y + z nguyên tố nên x − 1 + y + z = 3 Vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử : 0,25 1,0 0,25 x − 1 ≤ z ≤ y ⇒ 3 = x − 1 + y + z ≥ 3( x − 1) ⇒ x − 1 ≤ 1 ⇒ x − 1 ∈ { 1;0} . Với x − 1 = 0 ⇒ y 3 = 2 z 3 và y + z = 3 , suy ra không tồn tại y, z là các số tự nhiên thỏa mãn. Với x − 1 = 1 ⇒ 1 + y 3 = 2 z 3 và y + z = 2 . Tìm được y = z = 1 Đáp số x = 2; y = z = 1 0,25 A I M K 4 O B H C N ˆ = 900 Vì A ∈ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có AB 2 = BH .BC => AB 4 = BH 2 .BC 2 AC = CH .BC => AC = CH .BC 2 a 4 2 0,25 2 Lại có BH = BI .BA, 2 0,25 0,25 CH = CK .CA 2 AB BI .BA.BC 2 AB 3 BI ⇒ = => = AC 4 CK .CA.BC 2 AC 3 CK 1,0 4 b c 0,25 Chứng minh tứ giác AKHI là hình chữ nhật Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường trung trực của IK và BC Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác AMNO là hình bình hành. Do đó MA = ON = MK Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau Suy ra NI = NB = NK =NC Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn. 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 4 a +b+c+d + Dễ dàng chứng minh được : abcd ≤  ÷ (*) 4   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 1,0 0,25 + Đặt HB = x , 0 < x < 2R => HC = 2R - x Chứng minh được : HA = x.(2R − x) Ta có: HA.HB = x x(2R − x) = (2R − x)x 3 3 HA.HB có giá trị lớn nhất ⇔ (2R − x)x có giá trị lớn nhất ⇔ x.x.x(2R – x) có giá trị lớn nhất 0,25 x x x . . (2R − x) có giá trị lớn nhất 3 3 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = 3 4 x x x 1 x x x R4  Ta có : . . (2R − x) ≤ 4  + + + (2R − x) ÷ = 3 3 3 4 3 3 3 16  x 3 Do đó tích HA.HB có giá trị lớn nhất ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R . 3 2 Và khi đó xác định được vị trí điểm A trên nửa đường tròn là AC = R ⇔ 0,25 0,25 Do x, y dương 2x 2x 1 1 (2 x − ) = 2 x + .(2xy - 1) = 2xy + 1 => nên từ y y y y 1 2x 1 1 (2 x − ) = 2 x + ta suy ra 2x > y >0 y y y 2x 1 2 1 2 và y .(2 x − y ) = (2 x + y ) (1) 1 1 Đặt a =2x + ; b = 2x. (a, b > 0; a 2 ≥ 4b) y y 2 2 2 2 Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b Có 2 Suy ra : b - 1 > 0 và a = 5 0,25 4b 2 b −1 b2 1 1 1 = b +1+ = (b − 1) + + 2 ≥ 2 (b − 1). +2=4 Lại có : b −1 b −1 b −1 b −1 (theo bđt Cô si) 1 2 Do đó: a ≥ 16. Mà a > 0 nên a ≥ 4 ⇒ 2 x + y ≥ 4 1 Dấu “=” xảy ra khi : b − 1 = ⇔ (b − 1) 2 = 1 ⇔ b = 2 ( do b> 0 ) b −1 1   2+ 2 2 x + y = 4 2 x = 2 + 2 x =    2 ⇔ 1 ⇔ Khi đó:  1  2 x. = 2  y = 2− 2 y = 2+ 2   y  2 1,0 0,25 0,25 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biếu thức 2x + y là 4 khi và chỉ khi x= y= 2+ 2 . 2 * Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. 0,25