Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện phù cừ hưng yên năm học 2014 2015(có đáp án)

Hng dn chm thi I. Hng dn chung 1) Hng dn chm thi ny ch trỡnh by cỏc bc chớnh ca li gii hoc nờu kt qu. Trong bi lm, thớ sinh phi trỡnh by lp lun y . 2) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu trong ỏp ỏn m vn ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh. 3) Vic chi tit hoỏ thang im (nu cú) so vi thang im trong hng dn phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht thc hin trong Hi ng chm thi. 4) Cỏc im thnh phn v im cng ton bi phi gi nguyờn khụng c lm trũn. II. ỏp ỏn v thang im Bi 1(2 im): Bi 1(5.0 im): a) Rỳt gn cỏc biu thc sau: 4 + 3 2 +2 . 3 4 + 3 2 +1 b) Cho cỏc s thc a, b tha món 4a > b > 0 v 4a 2 + b2 = 5ab. Tớnh giỏ tr ca A = 5 + 21 + 5 21 2 4 7 ; B = biu thc B = 3 ab 4a2 b2 a) Rỳt gn Thang im 3,5 * A 2 = 10 + 2 21 + 10 2 21 2 8 2 7 0, 5 ỏp ỏn = ( = 7 + 3 + 7 3 2( 7 1) 7+ 3 ) 2 + ( 7 3 ) 2 2 ( ) 7 1 2 = 2, suy ra A = 2 0, 5 0, 5 0, 5 ` 4 + 3 2 +2 3 4 + 3 2 + 38 = 3 * B= 3 4 + 3 2 +1 4 + 3 2 +1 3 3 = 2 ( 3 ) 4 + 3 2 +1 0, 5 0, 5 4 + 2 +1 0, 5 ` =32 2 2 b) Cho cỏc s thc a, b tha món 4a > b > 0 v 4a + b = 5ab. 3 3 ab 4a2 b2 Theo bi : 4a2 + b2 = 5ab 4a2 - 4ab + b2 - ab = 0 Tớnh giỏ tr ca biu thc B = 0, 5 `  (a - b)(4a - b) = 0 (1) Vỡ 4a > b > 0 nờn (1) a = b 1 b2 b2 Thay a = b vo biu thc B c: B = 2 = 2 , suy ra B = 2 3 4b b 3b 0, 5 0, 5 ` Bi 2(4.0 im): Gii cỏc phng trỡnh sau: ( a) x 2 2 x ) + 2 ( x 1) 2 = 0 2 2 b) x 2 + 2 x x 2 = 3x + 2 x ỏp ỏn ( a) x 2 2 x (x 2 ) 2 + 2 ( x 1) 2 = 0 2x ( (x 2 ) 2 2,0 + 2 ( x 1) 2 = 0 2 ) + 2( x 2x ) = 0 2x ) ( x 2x + 2 ) = 0 (1) x2 2x 2 Thang im 2 2 0,5 2 Nhn xột : x 2 2x + 2 = ( x 1) + 1 > 0 vi mi x nờn phng trỡnh (1) 2 tng ng vi : x 2 2x = 0 x ( x 2 ) = 0 x = 0 hoc x = 2. Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim l x = 0 v x = 2 2 b) x 2 + 2 x x = 3 x + 2 (1) x 2 x 0 2 2 x KX: x + 2 x = 3+ x x x 0 x t x 0,5 1,0 2,0 0,5 2 2 + 2 x 3 = 0 (2). x x 2 = t > 0, x phng trỡnh (2) tr thnh: t 2 + 2t 3 = 0 ( t 1) ( t + 3) = 0 t = 1 ( do t > 0 ) 0,5 * t =1, ta c 2 =1 x 2 x =1 x 2 x 2 = 0 x ( x + 1) ( x 2 ) = 0 x 1,0 x = -1 hoc x = 2 (tha món). Bi 3(4.0 im): a) Cho f(x) = mx + 2014 v g(x) = (m2 + 1)x - 2015. Chng minh rng hm s y = f(x) + g(x) l hm s ng bin trờn R. b) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món: x2 + x + 6 = y2 . ỏp ỏn a) Cho f(x) = mx + 2014 v g(x) = (m 2 + 1)x - 2015. Chng minh rng hm s y = f(x) + g(x) l hm s ng bin trờn R. Thang im 2.0 Hm s y = f(x) + g(x) = (m2+m+1)x - 1 cú dng y = ax +b. Trong ú 2 1 3 h s a = m +m+1 = m + ữ + > 0 vi mi m. 2 4 2 Do vy hm s y = f(x) + g(x) l hm bc nht cú h s a > 0 Suy ra hm s ng bin trờn R. b) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món: x2 + x + 6 = y2 1.0 1.0 2.0 Ta cỳ: x2 + x + 6 = y2 4x2 + 4x + 24 = 4y2 (2x + 1)2 4y2 = -23 ( 2x 2y + 1)(2x + 2y + 1) = - 23 Vi x, y nguyờn, xột cỏc trng hp: 2x 2 y + 1 = 1 1/ 2x+2 y + 1 = 23 2x 2 y + 1 = 1 3/ 2x+2 y + 1 = 23 1.0 0, 5 2x 2 y + 1 = 23 2/ 2x+2 y + 1 = 1 2x 2 y + 1 = 23 4/ 2x+2 y + 1 = 1 Gii cc trng hp trn v kt hp vi iu kin x, y nguyn ta c cc nghim nguyn (x, y) l (5; 6); (5; -6) ; (-6;- 6); (- 6; 6) 0,5 Bi 4(6.0 im): Cho (O, R ) v mt ng thng xy c nh nm ngoi ng trũn. K OH vuụng gúc vi xy(H thuc xy). T mt im M tựy ý trờn xy v 2 tip tuyn MP v MQ ti (O, R ) . Gi I , K ln lt l giao im ca OH v OM vi PQ . a) Chng minh hai tam giỏc OKI v OHM ng dng. b) Chng minh rng PQ luụn i qua mt im c nh khi M thay i trờn ng thng xy. c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc MPO. Qua G v ng thng d ct cỏc cnh MP, PO ca tam giỏc MPO ln lt ti E v F. Chng minh: 1 1 9 + 2 2 PE PF MO2 Thang ỏp ỏn im P x d E G D M N F K I O H Q y a) Chng minh OKI : OHM 1.0 Tao cú: + MP = MQ (tớnh cht hai tip tuyn ct nhau) + OP = OQ = R Suy ra : OM l trung trc ca OP => OM vuụng gúc vi PQ => OKI = 900 .(1) Do OH vuụng gúc vi xy nờn OHM = 900 (2) T (1) v (2) suy ra OHM =OKI . ...=> OKI : OHM (g.g) (3) b) T (3) suy ra OI.OH = OK.OM (4) 1,0 0, 5 VOMP vuụng ti P, ng cao PK suy ra OK.OM = OP 2 = R 2 (5) T (4) v (5) suy ra OI.OH = R 2 OI = Mt khỏc I thuc on OH c nh. R2 khụng i. OH 1, 0 0, 5 Suy ra I c nh => PQ luụn i qua im c nh I . 1 1 9 + 2 c) Chng minh . 2 0, 5 PE PF MO2 K PN vuụng gúc vi EF ( N thuc EF). Kộo di PG ct OM ti D. 1 1 1 VPEF vuụng ti P, ng cao PN suy ra + 2= (6) 2 PE PF PN 2 1 1 9 9 = = Ta cú (7) 2 2 2 1,0 PN PG 4PD OM 2 0, 5 1 1 9 + 2 T (6) v (7) suy ra 2 2 PE PF MO Bi 5(1.0 im): Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha món ab + bc + ca = 3 . Tỡm GTNN ca biu thc P = 1 + 3a 1 + 3b 1 + 3c + + 1 + b 2 1 + c2 1 + a 2 ỏp ỏn b 2 ( 1 + 3a ) b ( 1 + 3a ) 1 + 3a Ta cú = 1 + 3a 1 + 3a 2 2 1+ b 1+ b 2 c 1 + 3b ) Tng t cú: 1 + 3b 1 + 3b ( ; 2 1+ c 2 Thang im 0,5 a ( 1 + 3c ) 1 + 3c 1 + 3c 1 + a2 2 Suy ra P 3 + 3( a + b + c) a + b + c + 3 ( ab + bc + ca ) 5 ( a + b + c ) 3 = 2 2 2 Do ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 0 ( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ca ) = 9 2 2 2 2 a + b + c 3 ( a, b, c dng ) Suy ra P 6. Du "=" xy ra khi v ch khi a = b = c = 1 ------------ Ht ------------ 0,5