Chuyên đề phương trình và bất phương trình môn toán lớp 10 có hướng dẫn chi tiết

Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng P  1 x  1 y  1 z . P  1  1  1. (1  x)  (1  y)  (1  z)  HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: Dấu "=" xảy ra  1  x  1  y  1  z  x  y  z  Vậy Max P = 6 1 . 3 1 . 3 6 khi x  y  z  Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng: Bài 4. x2  1 x 2  y2  1 y 2  z2  1 z2  82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 2  2 1  2  1 1  9 9 2 2 (1) x   x  2  (1  9 )   x    x  2  x x  82  x  x  1 1  9 1 1  9 Tương tự ta có: y 2  2  z2   z   y   (2), y z 82  82  y z2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 1  1  1 1 1  80  1 1 1   ( x  y  z )            9  x y z  9  x y z  82    1 1 1  80 1 2 9  ( x  y  z)      .   82 .  82  3  x y z  9 x  y  z   1 Dấu "=" xảy ra  x  y  z  . 3 P Bài 5.  1 1 1  1  ( x  y  z)  9      = 82   x y z  Cho a, b, c   1 thoả a  b  c  1 . Chứng minh: 4 (1) (2) 7  4a  1  4b  1  4c  1  21 . HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a  1; 4b  1; 4c  1  (2). Chú ý: x  y  z  x  y  z . Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 0. Từ đó  (1) Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 2 3 4 1 a) A   , với x + y = 1 b) B  x  y , với   6 x y x 4y 2 2  2   1  HD: a) Chú ý: A =     .  x  2 y    2 1 Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x ; ta được: ; y; x 2 y 2 4 1  25  2 1    x.  y.   ( x  y)      4  x 2 y  x 4y  4 1 25 4 1 Dấu "=" xảy ra  x  ; y  . Vậy minA = khi x  ; y  . 5 5 4 5 5 2 2 2 3  2  3 b) Chú ý:       . x y  x  y   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 40 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Áp dụng BĐT (B) với 4 số: 2 ; x x; y; 3 ta được: y 2 2 2  2  3 2 3  2 3  . ( x  y)      x .  y.   2  3  x  y   6 x y x y   Dấu "=" xảy ra  x  Bài 7. 2 3 3 2 6 3 Tìm GTLN của các biểu thức sau: ; y 2 3 3 2 6 2 . Vậy minB =  2  3 6 2 . a) A  x 1  y  y 1  x , với mọi x, y thoả x 2  y2  1 . HD: a) Chú ý: x  y  2( x 2  y2 )  2 . ( x 2  y2 )(1  y  1  x )  x  y  2  A Dấu "=" xảy ra  x  y  Bài 8. 2 2 . 2 . 2 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau: a) A  7  x  2  x , với –2  x  7 b) B  6 x  1  8 3  x , với 1  x  3 x 2 y2   1. 4 9 5 (12  12 )(7  x  x  2)  3 2 . Dấu "=" xảy ra  x  . 2 c) C  y  2 x  5 , với 36 x 2  16 y2  9 d) D  2 x  y  2 , với HD: a)  A   A  (7  x)  ( x  2)  3 . Dấu "=" xảy ra  x = –2 hoặc x = 7. 5  maxA = 3 2 khi x  ; 2 b) B  minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7. (62  82 )( x  1  3  x )  10 2 . Dấu "=" xảy ra  x = 43 . 25  B  6 ( x  1)  (3  x )  2 3  x  6 2 . Dấu "=" xảy ra  x = 3.  maxB = 10 2 khi x = 43 ; 25 minB = 6 2 khi x = 3. 1 1 c) Chú ý: 36 x 2  16 y2  (6 x)2  (4 y)2 . Từ đó: y  2 x  .4 y  .6 x . 4 3  1 1 1 1 5 .4 y  .6 x     16 y 2  36 x 2  4 3 4  16 9  15 5 25 5  C  y  2x  5  .    y  2x   4 4 4 4 15 25 2 2 9 9  minC = khi x  , y   ; maxC = khi x   , y  . 5 5 20 20 4 4   y  2x  d) Chú ý:  2 1 x 2 y2 1   (3x )2  (2 y)2 . Từ đó: 2 x  y  .3x  .2 y . 4 9 36 3 2   4 1 2 1 .3x  .2 y     9 x 2  4 y 2  5 3 2 9 4  5  2 x  y  5  7  D  2 x  y  2  3 .  2x  y    www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 41 Bất đẳng thức – Bất phương trình 8 5  minD = –7 khi x   , y  www.toantrunghoc.com 9 ; 5 Trần Sĩ Tùng 8 9 maxD = 3 khi x  , y   . 5 5 Bài 9. a) II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Điều kiện Kết quả tập nghiệm  b a>0 S =  ;   a   b  a 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P( x )  Dạng: (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)  0 (2) Q( x ) P( x )  Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ  Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. g( x )  0  Dạng 1: f ( x )  g( x )   g( x )  f ( x )  g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 43 Bất đẳng thức – Bất phương trình  Dạng 2: Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com   g( x )  0   f ( x ) coù nghóa  f ( x )  g( x )    g( x )  0     f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )  A  B  B  A  B ; Chú ý: Với B > 0 ta có:  A  B . A B A  B Bài 1. Giải các bất phương trình sau: a) ( x  1)( x  1)(3x  6)  0 d) 3x(2 x  7)(9  3x)  0 e) Bài 2. Giải các bất phương trình sau: (2 x  5)( x  2) 0 a) b) 4 x  3 3x  4 1 d) e) x 2 x3  8x 2  17x  10  0 x 3 x 5  x 1 x  2 2x  5  1 2 x 2x2  x 4 3 g) h)   1 x 1 2x 3x  1 2  x Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) 3x  2  7 b) 5x  12  3 x 1 d) 3x  15  3 e) x  1  2 g) 2 x  5  x  1 h) 2 x  1  x Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 2x  m 1 mx  m  1 0 a) b) 0 x 1 x 1 HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương: a x  b1x 0 (a1x  b1 )(a2 x  b2 )  0 , 1 a2 x  b2 x – Đặt x1   c) x 2  x  20  2( x  11) b) (2 x  7)(4  5x)  0 f) x3  6 x 2  11x  6  0 x  3 1 2x  x 5 x 3 2 5 f)  x 1 2x 1 2 x  5 3x  2 i)  3x  2 2 x  5 c) c) 2x  8  7 x f) x  2  2 i) x  2  x  1 c) x  1( x  m  2)  0 (hoặc < 0.  0,  0) b1 b ; x2   2 . Tính x1  x2 . a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1  x2 . – Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta a x  b1x xét dấu của (a1x  b1 )(a2 x  b2 ) (hoặc 1 ) nhờ qui tắc đan dấu. a2 x  b2 x   3 m  ;    m  3 : S  (; 1)    2    3 m  a)  m  3 : S   ;   (1; )   2   m  3 : S  R \ {  1}   m  3 : S  (1; ) c)   m  3 : S  (m  2; ) Bài 5. Giải các bất phương trình sau: a)   m 1  ;    m  0 : S  (;1)    m    m 1  ;1 b)  m  0 : S     m   m  0 : S  (;1)  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 44 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Dấu của tam thức bậc hai 0 f(x) = ax 2  bx  c (a  0) a.f(x) > 0, x  R  b a.f(x) > 0, x  R \    2a  a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) a  0 Nhận xét:  ax 2  bx  c  0, x  R     0   ax 2  bx  c  0, x  R  a  0   0 2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2  bx  c  0 (hoặc  0; < 0;  0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau: a) 3x 2  2 x  1 b)  x 2  4 x  5 c) 4 x 2  12 x  9 d) 3x 2  2 x  8 e)  x 2  2 x  1 f) 2 x 2  7 x  5 2 g) (3x  10 x  3)(4 x  5) 2 2 h) (3x  4 x )(2 x  x  1) i) Bài 2. Giải các bất phương trình sau: (3x 2  x )(3  x 2 ) 4x2  x  3 a) 2 x 2  5x  2  0 b) 5x 2  4 x  12  0 c) 16 x 2  40 x  25  0 d) 2 x 2  3x  7  0 e) 3x 2  4 x  4  0 f) x 2  x  6  0 g) 3x 2  x  4 0 h) 4 x 2  3x  1 x 2  5x  7 x 2  3x  5 Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 0 i) 5x 2  3x  8 x2  7x  6 0 a) x 2  mx  m  3  0 b) (1  m) x 2  2mx  2m  0 c) mx 2  2 x  4  0 HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a và . – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT. Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 45 Bất đẳng thức – Bất phương trình 2 x 2  9 x  7  0  a)  2 x  x  6  0  x2  4x  3  0  d) 2 x 2  x  10  0 2 x 2  5 x  3  0  g) 4  x2  2x  7 x2  1 1 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 2 x 2  x  6  0  b)  2 3 x  10 x  3  0  2 x 2  5 x  4  0  c)  2  x  3x  10  0   x 2  4 x  7  0  e)  2 x  2x 1  0  x2  x  5  0  f)  2 x  6x  1  0  1 x2  2x  2 h)  1 13 x 2  5x  7 i) 1  10 x 2  3x  2  x 2  3x  2 1 VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm a) (m  5) x 2  4mx  m  2  0 b) (m  2) x 2  2(2m  3) x  5m  6  0 c) (3  m) x 2  2(m  3)x  m  2  0 d) (1  m) x 2  2mx  2m  0 e) (m  2) x 2  4mx  2m  6  0 f) (m2  2m  3)x 2  2(2  3m)x  3  0 Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a) 3x 2  2(m  1) x  m  4  0 b) x 2  (m  1) x  2m  7  0 c) 2 x 2  (m  2) x  m  4  0 d) mx 2  (m  1) x  m  1  0 e) (m  1) x 2  2(m  1)x  3(m  2)  0 f) 3(m  6) x 2  3(m  3) x  2m  3  3 Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m  2) x 2  2(m  1)x  4  0 b) (m  3) x 2  (m  2) x  4  0 c) (m2  2m  3) x 2  2(m  1) x  1  0 d) mx 2  2(m  1) x  4  0 e) (3  m) x 2  2(2m  5) x  2m  5  0 f) mx 2  4(m  1) x  m  5  0 Bài 4. a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.  f ( x)  0 C1  g( x )  0 C2   f ( x )  g( x )  f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )     Dạng 1:   f ( x )   g( x )   f ( x )  0    f ( x )   g( x )   f ( x )  g( x )  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x ) g( x )  0  Dạng 3: f ( x )  g( x )   g( x )  f ( x )  g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 46