Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 còn hiện tại chỉ đạt 70% . Lưu lượng của hồ Trị An trên sơng Đồng Nai chỉ đạt khoảng 80% so với trung bình hàng năm. Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND TP.HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thơ cho nguồn nước sơng Sài Gòn với vốn thực hiện từ ngân sách. Ngồi ra, đơn vị cũng đề xuất nâng cao cơng nghệ xử lý nước nhưng việc này đòi hỏi chi phí đầu tư, vận hành cao. (Nguồn vnexpress.net) a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả trong 3 ngày qua? b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước hiện có đề ngăn mặn (với tốc độ xả như trên) thì cơng việc này sẽ mất bao nhiêu ngày. c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục từ hơm nay (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng nước mà hồ đã xả trong khoảng thời gian này.   HẾT   Trang 2 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2015 -2016 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP 9 – THCS (NĂM 2014 – 2015) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 22/3/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa điều kiện: ab  a  b . Tính giá trị của biểu thức: A  a b   ab b a a2  b2   ab a2  b2   a  b a b a2  b2  a2  2ab  b2 Ta có: A    ab    2 b a ab ab ab 2 2 Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 5x  1  x  2  4x  3 5  1 5x  1  0 1 x  Điều kiện:   5 x . 5 x  2  0 x  2  2   a  5x  1 a  5x  1 Đặt   a2  b2  4x  3  a, b  0    2   b  x  2 b  x  2 Phương trình đã cho trở thành: a  b  a  b  0 a2  b2   a  b a  b  5   0   5 a  b  5  0  1 3 x  TH1: a  b  0  5x  1  x  2  0  5x  1  x  2    x   nhận 5 4 5x  1  x  2  TH2: a  b  5  0  5x  1  x  2  5  0  5x  1  x  2  5   5x  1  x  2  2  25  5x  1  x  2  2  5x  1 x  2   25  5x  1 x  2   12  3x 12  3x  0 x  4  2   2 4x  81x  146  0  5x  1 x  2   12  3x  3  x  4 Vậy S   ;2   x  4 4   x  2     x  2  nhận   x  73  x  2  4x  73   0   4 Bài 3: (3 điểm) Trang 3 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 Cho hai số x1 ,x 2 là các nghiệm của phương trình: x2  ax  b  0 , đồng thời x12  1 1 và x 2 2  cũng 2 2  1 1 là các nghiệm của phương trình x2   a2   x  b2   0 . Tìm a và b. 2 2  Cách 1: x  x 2  a Vì x1 ,x 2 là các nghiệm của phương trình: x2  ax  b  0 nên theo định lí Vi-et, ta có:  1 x1x 2  b 1 1 Đặt X1  x12  ;X2  x2 2  2 2  1 1 2 2  X  X   x  x 2  2x x  1  X1  X2  x1  2  x 2  2 2 1 2 1 2  1    2 1 1 1 2  X X   x 2  1   X1X2   x1x 2   x12  x 22  x     2 4  1 2  1 2  2 2     X  X   x  x 2  2x x  1 2 1 2 1 2  1  2 2 1 1  X1X2   x1x 2    x1  x 2   2x1x 2    4 2    X  X   a2  2b  1  X1  X2  a2  2b  1 1 2     1 2 1 2 2 1 1 2  X1X2  b   a  2b   X1X2  b  a  b   4  2 4 2    1 1 Vì X1 , X2 là các nghiệm của phương trình: x2   a2   x  b2   0 2 2   1 2  X1  X2  2  a nên theo định lí Vi-et, ta có:   X X  b2  1  1 2 2  X1  X2  a2  2b  1  mà  1 2 1 2  X1X2  b  a  b   2 4  2 1 a  0 a  2b  1   a2 2 2   4a  4b  3 2a  0  2    nên  3 2 2 2a  4b  3  2a  4b  3  b2  1 a2  b  1  b2  1 b    4   2 4 2 Cách 2: Ta có : a2  4b  0 x 2  ax  b  0 1   2 có nghiệm nên có điều kiện :  2  2 1  2 1   2 1 1 2 x   a   x  b   0  2   a    4  b    0 2 2 2 2      Do x1 ,x 2 là 2 nghiệm của pt (1), theo định lý Vi – ét, ta có : x1  x 2  a  x1 .x 2  b Trang 4 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016  1  1 Do  x12   ; x 2 2   là nghiệm của pt (2), theo định lý Vi – ét , ta có : 2  2   2 1 1 1  2 1 2 2 x1  x 2 2  1  a2  x1  2  x 2  2  a  2    2   1 1  x x 2  1 x 2  x 2  1  b2  1  x 2  1  x 2 2    b2   1 2  1 2  2  2 2 2 1 4 2    2   2 3 3 x1  x 2   2x1x 2  a2  a  2b  a2       2 2    x .x 2  1  x  x 2  2x x   b2  3  b2  1 a2  2b  b2  3 1 2 1 2 1 2    2  4  2 4   3  3  b   4 b     4  nhận a2  3  3 a  0   2 2  3 Vậy  a;b   0;   thì thỏa đề. 4    Bài 4: (4 điểm) 2  1  xy  a) Cho hai số thực x, y  x  y  0  . Chứng minh rằng: x  y    2  xy  Cách 1: 2 2 2 2 2  1  xy   1  xy  x y    2   x  y   2xy    2  xy   xy  2 2 2 2  1  xy   1  xy    x  y   2 1  xy      0  x  y    0  bất đẳng thức đúng  xy   xy   Cách 2: Áp dụng BĐT Cơ – si cho hai số khơng âm, ta được: 2 2 2    x  y    1xxyy   2 1  xy   2 1  xy  2  2xy    1  xy   x 2  y 2  2xy     2  2xy  xy  2  1  xy   x2  y2   2  xy  Vậy BĐT đã được chứng minh. b) Trong một hình vng có cạnh bằng 1, ta lấy 5 điểm tùy ý. Chứng minh rằng ln tồn tại hai điểm có khoảng cách khơng vượt q Trang 5 2 2 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 1 A 2 B C D 1  Ta chia hình vng có cạnh là 1 thành 4 hình vng nhỏ có cạnh là 1 như hình vẽ. 2 1 1 2   4 4 2  Lấy 5 điểm tùy ý trong hình vng có cạnh là 1 (số con thỏ) cho vào 4 hình vng nhỏ có cạnh là 1 1 như hình vẽ (số chuồng), thì theo ngun lý Dirichle có ít nhất một hình vng nhỏ có cạnh là 2 2 2 chứa hai điểm mà khoảng cách 2 điểm đó khơng lớn hơn đường chéo của hình vng nhỏ bằng . 2  Ta có: AC  AB2  BC2  Vậy ln tồn tại 2 điểm có khoảng cách khơng vượt q 2 2 Bài 5: (5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC tại D, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q và cắt (O) tại E khác A. Tia ED cắt (O) tại F khác E. Chứng minh rằng: A K E O Q P B C D M F a) CAD  FAB Ta có: Trang 6 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016)