Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tỉnh tuyên quang năm học 2012 2013(có đáp án)

Hướng dẫn chấm, biểu điểm MÔN THI: TOÁN CHUNG Nội dung Điểm Câu 1 (3,0 điểm) x 2 − x − 12 = 0 a) Giải phương trình: Bài giải: Ta có ∆ = (−1)2 − 4.1.(−12) = 49 ⇒ ∆ = 7 Phương trình có nghiệm: x1 = b) Giải hệ phương trình: −(−1) − 7 −(−1) + 7 = − 3; x2 = =4 2 2 1,0 0,5 0,5 2 x + 3 y = 7   x − 10 y = −8 2 x + 3 y = 7 2 x + 3 y = 7 ⇔  x − 10 y = −8  2 x − 20 y = −16 1,0 Ta có:  0,5 2 x + 3 y = 7 x = 2 ⇔ ⇔ . 23 y = 23 y =1 0,5 Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; 1) c) Giải phương trình: 1,0 x 4 −29 x 2 +100 = 0 (*) Đặt y = x 2 ( điều kiện y ≥ 0 ) phương trình trở thành: y 2 −29 y +100 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm: y = 25 và y = 4 (thoả mãn) Với y = 25 ta có x 2 = 25 ⇔ x = ±5 Với y = 4 ta có x 2 = 4 ⇔ x = ±2 0,25 0,25 0,5 2,5 Câu 2 (2,5 điểm ) Một tàu thuỷ xuôi dòng một khúc sông dài 48 km, rồi ngược khúc sông ấy hết tổng thời gian 5 giờ. Tính vận tốc thực của tàu thuỷ (khi nước yên lặng) biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Bài giải: Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/giờ) ĐK: x > 4 0,25 Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là x + 4 (km/h), khi ngược dòng là x - 4 (km/h) 0,25 Thời gian tàu thuỷ xuôi dòng là Theo bài ra ta có phương trình: 48 48 + =5 ( 1 ) x+4 x−4 48 48 (h), ngược dòng là x+4 x−4 4 Giải phương trình (1) tìm được x1 = 20 ; x2 = − 5 4 Loại x2 = − . 5 Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/giờ. 0,25 0,5 1,0 0,25 2 Câu 3 (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 10 cm, · cạnh CD = 6 cm, BAD = 600 . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác DCEF nội tiếp. b) Tính diện tích tam giác ABD và tam giác ACD. c) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc BCF. Vẽ hình đúng C 2 1 B E 0,5 A 1 F D 1,0 a) Tứ giác DCEF nội tiếp. · Ta có: ACD = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ) · Hay ECD = 900 Xét tứ giác DCEF có: · ECD = 900 ( cm trên ) · EFD = 900 ( vì EF ⊥ AD (gt) ) 0,5 · · => ECD + EFD = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( đpcm ) 0,5 b) Tính diện tích tam giác ABD và tam giác ACD. 1 2 Ta có AB = AD = 10 = 5 (cm) 2 BD = AD − AB = 10 − 5 = 5 3 (cm) ⇒ S ∆ABD 2 2 2 2 AC = AD 2 − CD 2 = 102 − 62 = 8 (cm) ⇒ S ∆ACD = 1 1 25 3 = AB.BD = 5.5 3 = (cm2) 2 2 2 1 1 AC.CD = 8.6 = 24 (cm2) 2 2 1,0 0,5 0,5 3 c) Tia CA là tia phân giác của góc BCF. 1,0 0,5 Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( c/m phần a ) ¶ =D ¶ ( góc nội tiếp cùng chắn » ) => C EF 1 1 (1) Xét đường tròn đường kính AD, ta có: ¶ =D ¶ ( góc nội tiếp cùng chắn ¼ ) C AB 2 1 Từ (1) và (2) 0,5 (2) ¶ =C ¶ hay CA là tia phân giác của · => C BCF .( đpcm ) 1 2 Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên 4 y 2 = 2 + 199 − x 2 − 2 x Điều kiện: 199 − x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔ −10 2 − 1 ≤ x ≤ 10 2 − 1 * 0,25 Ta có: 199 − x 2 − 2 x = 200 − ( x +1) 2 ≤ 200 < 15 1 2 Do đó: 2 ≤ 4 y 2 ≤ 17 ⇒ ≤ y 2 < 17 , mà y ∈ ¢ nên y ∈ { −2; −1;1; 2 4 } 0,25 2 + 200 − ( x + 1) 2 = 4 ⇔ 200 − ( x + 1) 2 = 4 Với y = ±1 ta có  x = 13 ⇔ ( x + 1) 2 = 196 ⇔   x = −15 0,25 2 + 200 − ( x + 1) 2 = 16 ⇔ 200 − ( x + 1) 2 = 196 Với y = ±2 ta có x = 1 ⇔ ( x + 1) 2 = 4 ⇔   x = −3 0,25 (Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác mà đúng đáp số thì vẫn cho điểm tối đa). 4