Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh quảng bình năm học 2015 2016(có đáp án)

S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng 3 nm 2016 Mụn thi: TON HNG DN CHM LP 9 ap an nay gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ỏp ỏn ch trỡnh by mt li gii cho mi bi. Trong bi lm ca hc sinh yờu cu phi lp lun lụgic cht ch, y , chi tit v rừ rng. * Trong mi bi, nu hc sinh gii sai bc gii trc thỡ cho im 0 i vi nhng bc gii sau cú liờn quan. cõu 3 nu hc sinh khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai thỡ cho im 0. * im thnh phn ca mi bi núi chung phõn chia n 0,25 im. i vi im thnh phn l 0,5 im thỡ tu t giỏm kho thng nht chit thnh tng 0,25 im. * Hc sinh cú li gii khỏc ỏp ỏn (nu ỳng) vn cho im ti a tu theo mc im ca tng bi. * im ca ton bi l tng (khụng lm trũn s) ca im tt c cỏc bi. Cõu Nụi dung x x 2 x + x 2( x 1) + vi 0 < x 1 . x + x +1 x x 1 a. Rut gon biờu thc P. Vi 0 < x 1 ta co: x2 x x ( x 1)( x + x + 1) = = x ( x 1) = x x x + x +1 x + x +1 2x + x x (2 x + 1) = = 2 x +1 x x Cho biờu thc: P = 1 iờm 2 2( x 1) 2( x 1)( x + 1) = = 2( x + 1) x 1 x 1 P = ( x x ) (2 x + 1) + 2( x + 1) = x Kờt luõn: P = x x + 1, 0 < x 1 0,25 0,25 0,25 x +1 b. Tim x ờ biờu thc P at gia tri nho nhõt. Vi 0 < x 1 ta co: 1 3 3 P = x x + 1 = ( x )2 + 2 4 4 1 1 Dõu = xay ra khi va chi khi x = 0 x = 2 4 2 1,0 1 Kờt luõn: P at gia tri nho nhõt khi va chi khi x = . 4 2 2 a. Cho phng trinh: 2 x + 2mx + m 2 = 0 (tham sụ m). Tim m ờ 0,25 1,0 0,50 0,50 1,50 phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | 2 x1 x2 + x1 + x2 4 |= 6 Ta co: = m 2 2(m 2 2) = 4 m 2 Phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 0 4 m 2 0 2 m 2 m2 2 Theo inh ly Viet ta co: x1 + x2 = m; x1.x2 = 2 Theo bai ra: m2 2 | 2 x1 x2 + x1 + x2 4 |= 6 2. m4 =6 2 2 | m 2 m 6 |= 6 m2 m 6 = 6 m m 6 = 6 2 m m 12 = 0 m = 4 (loại) hoặc m = 3 (loại) 2 m = 0 hoặc m = 1 m m =0 m = 0 hoặc m = 1 Kờt luõn: m = 0 ; m = 1 b. Giai hờ phng trinh: { { x3 2 x 2 y + x = y 3 2 xy 2 + y x 2 + 4 x = y 2 6 x + 11 x20 KX: 4 x 0 2 x 4 x3 2 x 2 y + x = y 3 2 xy 2 + y (1) x 2 + 4 x = y 2 6 x + 11 (2) T (1) ta co: x3 2 x 2 y + x = y 3 2 xy 2 + y x3 2 x 2 y + x y 3 + 2 xy 2 y = 0 ( x3 y 3 ) 2 xy ( x y ) + ( x y ) = 0 ( x y )[( x 2 + xy + y 2 ) 2 xy + 1] = 0 ( x y )( x 2 xy + y 2 + 1) = 0 x y = 0 (do x 2 xy + y 2 + 1 > 0 x, y Ă ) x= y { Thay x = y vao (2) ta co: x 2 + 4 x = x 2 6 x + 11 (3) VP = x 2 6 x + 11 = ( x 3) 2 + 2 2, x [2; 4] Dõu = xay ra x = 3 VT = x 2 + 4 x = ( x 2).1 + (4 x).1 ( x 2) + 1 (4 x) + 1 + = 2, x [2; 4] 2 2 Dõu = xay ra khi x = 3 { x2+ 4 x = 2 x =3 x 2 6 x + 11 = 2 Do x = 3 nờn y = 3 Kờt luõn: ( x; y ) = (3; 3) Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) v ngoi tip ng trũn (3) (I), AI ct (O) ti M (khỏc A), J l im i xng vi I qua M . Gi 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 1,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 1,50 N l im chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) ti E v F . a. Chng minh MI = MB . T ú suy ra BIJ v CIJ l cỏc tam giỏc vuụng. 0,25 àA ã ã ã Ta cú: MBC (AM l phõn giỏc gúc BAC ) = MAC = 2 àA àB ã ã ã (1) MBI = MBC + CBI = + 2 2 à à ãMIB = IAB ã + IBA ã = A+ B (2) (tớnh cht gúc ngoi tam giỏc) 2 2 T (1) v (2) suy ra tam giỏc MBI cõn ti M, do ú MI = MB. Tng t ta co: MI = MC. 1 Xet tam giac BIJ ta co: MB = MI = IJ tam giỏc BIJ vuụng ti B 2 Tng t: tam giỏc CIJ vuụng ti C. Vy BIJ v CIJ l cỏc tam giỏc vuụng ti B v C. b. Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn. 1 ã ằ + sđ AE ằ ; ãAIE = 1 sđNM ẳ + sđ AE ằ = sđNA Ta cú: NFE 2 2 ã ã ằ = sđ NM ẳ (N l im chớnh gia cung ẳ M sđ NA = AIE ABM ) NFE ( ) ( ) ã ã ã = 1800 EFJ ã ã . Mt khỏc NFE + EFJ = 1800 v ãAIE + EIJ = EIJ Hn na I v F nm v cựng mt phớa so vi JE. Kờt luõn: I , J , E, F cựng thuc mt ng trũn. Cho a, b > 0 tha món a + b 2 . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 1 1 M= + a + b2 b + a2 0,25 0,25 0,25 0,50 1,0 0,25 0,25 0,50 1,5 Trc ht ta chng minh vi a > 0 thỡ ( a + b ) ( a + b 2 ) ( a + 1) (*) 2 Tht vy: (*) a2 + 2ab + b 2 a 2 + a + ab 2 + b 2 2ab a + ab 2 0,50 a ( b 1) 0 (do a > 0) 2 1 a +1 2 T (*) a + b2 ( a + b) 1 b +1 2 Tng t: b + a2 ( b + a) 0,25 1 1 a+b+2 + (1) 2 2 a+b b+a ( a + b )2 a+b+2 1 (2) Ta chng minh vi a, b > 0 tha món a + b 2 thỡ ( a + b)2 Tht vy: (2) (a + b)2 (a + b) + 2 ( a + b + 1)(a + b 2) 0 (do a + b 2 ) T (1) v (2) suy ra M 1 Du = xóy ra khi a = b = 1. Vy giỏ tr ln nht ca M bng 1 khi a = b = 1. Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng m v n tha món iu kin n 2 + n + 1 = ( m 2 + m 3) ( m 2 m + 5 ) Cng v theo v ta c: M = 5 2 2 2 4 2 T iu kin n + n + 1 = ( m + m 3) ( m m + 5) = m + m + 8m 15 2 4 2 Xột phng trỡnh bc hai : n + n (m + m + 8m 16) = 0 (1) (n s n) phng trỡnh (1) cú nghim nguyờn dng thỡ = 4m 4 + 4 m 2 + 32m 63 phi l mt s chớnh phng. 2 2 2 Ta cú = ( 2m 2 + 2 ) 4 ( m 4 ) 3 < ( 2 m 2 + 2 ) , m Ơ * 0,50 0,25 1,0 0,25 0,25 Mt khỏc = ( 2m 2 + 1) + 32 ( m 2 ) 2 Do ú = ( 2m 2 + 1) + 32 ( m 2 ) > ( 2m 2 + 1) , m > 2 2 2 Khi o: ( 2m + 1) < < ( 2 m + 2 ) , m > 2 Suy ra (1) ch cú nghim nguyờn dng n khi m = 1 hoc m = 2 Nu m = 1 thỡ n2 + n + 6 = 0 vụ nghim. n = 4 2 Nu m = 2 thỡ n + n 20 = 0 n = 5 (loại) Th li m = 2 v n = 4 tha món iu kin bi toỏn. Kờt luõn : m = 2 ; n = 4. 2 2 2 2 0,25 0,25