Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên tỉnh tuyên quang năm học 2013 2014(có đáp án)

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN (Có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Câu 1 1) x 2 − mx − m − 1 = 0 (*) . (2 điểm) ∆ = m 2 + 4m + 4 = m + 2 2 ( ) 0,5 điểm 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 2 ∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) > 0 ⇔ m ≠ −2 2) Ta có: x1 + x 2 = m ; x1.x 2 = −m − 1 . S= 4 ( m + 1) 2 +3 m = −1 ⇒ S = − Câu 2 (2 điểm) 1) Giải pt: 3 ≥1− 4 1 =− 3 3 1 1 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của S là: − . 3 3 x+2 + 3 7−x =3 0,5 1,0 điểm ⇒ 9 + 9 3 ( x + 2)(7 − x) = 27 3 0,5 0,5 ⇔ x+2+7 - x +3 3 x + 2. 3 7 − x ( 3 x + 2 + 3 7 − x ) = 27 ⇔ 0,25 1,5 điểm m 2 + 2m m 2 + 2m m 2 + 2m = = x12 + x 22 + 2 ( x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2 + 2 m 2 + 2m + 4 S = 1− Điểm 0,25 0,25 ( x + 2)(7 − x) = 2 ⇔ (x+2)(7-x) = 8 ⇔ x2 - 5x - 6 = 0 0,25  x = −1 ⇔  (thỏa mãn) x = 6 1 1 9  x + y + x + y = 2  2) Giải hpt:   xy + 1 = 5  xy 2 0,25 đ/k: xy ≠ 0  2[ xy ( x + y ) + ( x + y )] = 9 xy (1) Hệ đã cho  2  2( xy ) − 5 xy + 2 = 0 (3)  xy = 2  Giải (2) ta được:  1 (4)  xy = 2 (2) 1,0 điểm 0,25 0,25 x + y = 3 x = 1 x = 2 ⇔ ;   xy = 2 y = 2 y =1 Từ (1) &(3) có:  2 0,25 3   x + y = 2 Từ (1)&(4) có:   xy = 1  2 x = 1  ⇔ 1  y = 2 1  x = ;  2  y = 1 0,25 Câu 3 (4 điểm) Vẽ hình chính xác 0,25 · · · 1) Tứ giác BCEF nội tiếp => AFE (cùng bù BFE ) = ACB · · · (cùng bù CEF ) AEF = ABC => ∆ AEF ∼ ∆ ABC. 2) Vẽ đường kính AK => KB // CH ( cùng ⊥ AB) KC // BH (cùng ⊥ AC) => BHKC là hình bình hành 3) Ta có BHKC là hình bình hành => A''H=A''K => OA'' là đường trung bình của ∆AHK => AH = 2OA’ 4) Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hai trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có : R AA '' ∆ AEF ∼ ∆ ABC => R '' = AA (1) ( R là bán kính đường tròn ngoại 1 tiếp ∆ABC, R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF) Ta có: AA’ là trung tuyến của ∆ABC; AA1 là trung tuyến của ∆AEF. Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Từ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ Vậy R . AA1 = AA’ . A’O AH 2 A ''O = AA’ . 2 2 (2) Câu 4 (1,0 Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm) 2 x - ax +a + 2 = 0 Đ/k để pt có nghiệm: ∆ ≥ 0 ⇔ a2-4a - 8 ≥ 0 (*) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của pt đã cho (giả sử x1 ≠ x2) 0,25  x1 + x2 = a ⇒ x1 x2 − x1 − x2 = 2  x1 x2 = a + 2 Theo định lí Viet:  ⇔ (x1-1)(x2-1)=3 x −1 = 3  x − 1 = −1 ⇔ 1 ;  1  x2 − 1 = 1  x2 − 1 = −3 x = 4 x = 0 ⇔  1 ;  1  x2 = 2  x2 = −2 0,25 (do x1-1 ≠ x2-1) 0,25 Như vậy a = 6 hoặc a = -2 thỏa mãn Câu 5 1,0 điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= 0,25 2 1 + với 0 < x < 2 2− x x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a2 + b2 ) (x2 + y2 ) ≥ (ax +by )2 Ta có: 2 2  2   1   ÷ +  ÷  2A =  x÷  2 − x ÷       ( 2− x => 2A ≥ ( 2 + 1) = 3 + 2 2 2   2 1 x  ≥  2− x + x÷ ÷  x  2− x  ) +( ) 2 2 0,25 2 2 1 Suy ra: min 2A = 3 + 2 2 ⇔ 2 − x = x 2− x x 2 1 ⇔ = 2 2 ( 2 − x) x ⇔ 2x2 = x2 − 4x + 4 ⇔ x2 + 4x + 4 = 8 0,25 0,25 ⇔ ( x + 2) = 8 2 ⇔ x + 2 = 8 Vì 0 < x < 2 ⇔ x = 2 2 −2 Vậy min A = 1,5 + 2 ⇔ x = 2 2 − 2 Ghi chú: Thí sinh làm bài không giống đáp án (nếu đúng) vẫn được điểm tối đa theo quy định. 4 0,25