Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận gò vấp thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016) HƯỚNG DẪN Bài 1: (3 điểm) Cho a  b  1 và ab  0 . Chứng minh rằng: a  2  ab  2  a b  3  2 2 b 1 a 1 a b  3 3 2  2a2 b2  1 1  2ab   2a2 b2  1 a b a a b b  3  3 3 3   Ta có: 3 b  1 a  1 a b  a  b3  1 a3 b3   a  b  a2  ab  b2  1 a3 b3  1  3ab   1 4 4 2  b2 4ab  2a2 b2 2ab  4 2  ab  2   3 3  2 2   vì ab  0  a b  3ab a b  3 a2 b 2  3 2   Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 2  9 9x 2  1  20x  1         x  3 x  3 3x  1 3x  1  20x  1  3x 2  10x  3 3x 2  10x  3  20x  1         3x 2  3  100x 2  20x  1  3x 2  3  10x  1  0  3x 2  10x  4 3x 2  10x  2  0 2 2 2  5 13 2 2 x        5  13  5  19 3 3   x      x      0    3 9   3 9  5 19   x   3 3   13 5 19   5  ;  Vậy S     3 3 3   3   b) 2  2x  5  9x x 2  2x 5  9x  5 (Điều kiện: x  ) x 9 2 2  2x    9x  5  81x3  90x 2  27x  2  0   3x  2  27x 2  12x  1  0 x  2  x  3  nhận   2  1 2   3x  2  3x  1 9x  1  0   x   loại   x  Vậy S    3 3 3   x  1  loại   9   Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – –  Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  1 . Tìm GTNN của biểu thức: 1 9 P  a b  a b Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:  1 16a  a  8  16b  9  24  b 1 9 Mà 15  a  b   15 . Nên a  b    17  P  17 a b  1 a  4 Dấu “=” xảy ra khi  b  3  4 1 3 Vậy Pmin  17 khi  x; y    ;  4 4 Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Một đường cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L. Gọi F là giao điểm của KL và AC. Chứng minh: BF  KL B A K F D Cách 1: L C     CBK; A  C   900  AB  BK  AB  BC Chứng minh được: ABK ∽ CBL ABK BC BL BK BL Xét BKL và ABC , ta có:   ABC   90 0 KBL    BCF   BKL ∽ BAC  c  g  c   BLF  AB BC    cmt   BK BL   BCL   900  BF  KL  Tứ giác BFCL nội tiếp  BFL   Cách 2:   BAC  Ta có: ABK ∽ CBL  KBL ∽ ABC  BKL HK HA  HKF ∽ HAB    AHK ∽ BHF HF HB   HFB   HFK   HKA   HBA   900  BF  KL  BFK Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016   300 . Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD . Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC minh: AB2  BC2  BD2 D A B C L   600  ABL   300  600  900 Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều BCL  CBL  AL2  AB2  BL2  Đònh lý Pytago ABL vuông tại B  AL2  AB2  BC2  Vì BL = BC  (1)     ACL    BCL   600  ACD   ACB   BCL   ACB   BCD Ta có: ACD Ta có: BCD  LCA  c  g  c   BD  AL  2  Từ (1) và (2) suy ra: AB2  BC2  BD2 Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: Bạn Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số trên bảng; Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả này thay cho số cũ. Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng. Nhân đi trước, Chia đi sau và sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng. a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu? Gọi x là số trên bảng. Sau bước đi của Nhân, số mới là: 2x 2x  1  x  0,5 Sau bước đi của Chia, số mới là: 2 Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 0,5. Do đó sau 2016 lượt chơi số trên bảng là: x  0,5.2016  x  1008 Vậy x  1007 b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng. x 1  0,5x  0,5 2 Sau bước đi chảu Nhân, số mới là: 2  0,5x  0,5  x  1 Sau bước đi của Chia, số mới là: Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 1. Do đó sau 1008 lượt chơi thì số trên bảng là: 1007  1008  2015 Vậy Nhân sẽ là người thắng.   HẾT   Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16