Đề thi học sinh giỏi môn toán 10 tỉnh hải dương năm học 2015 2016(có đáp án)

Câu Nội dung Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; −1) và có hệ số góc là k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là . 1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. + Đường thẳng (d) có pt: y = kx - 1 2 2 + PT tương giao (d) và (P): - x = kx - 1 Û x + kx - 1 = 0(*) + (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 vì D = k 2 + 4 > 0( " k ) + Trung điểm M của AB có hoành độ là x1 + x2 −k = ; M nằm trên trục 2 2 −k =0⇔k =0 tung Û 2 2) Chứng minh rằng Theo Vi et có: x1 + x2 = − k , x1 x2 = −1 I 3 3 2 2 Ta có: x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = x1 − x2 . ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 2 Có x1 - x2 = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 = k 2 + 4 ⇒ x13 − x23 = k 2 + 4(k 2 + 1) ≥ 2 , ∀k ∈ R . Đẳng thức xảy ra khi k = 0 ⇔ ( ) ( 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ − (1) ⇔ 1,0 1,5 1) Giải phương trình: (1) 1 3 3x + 1 − 1 + Điểm ) 5 x + 4 − 2 = 3x 2 − x 0,25 3x 5x = x ( 3x − 1) 3x + 1 + 1 5 x + 4 + 2  x = 0(TM ) Û  3 5 + = 3x −1 (*)  3x + 1 + 1 5x + 4 + 2 Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 là một nghiệm của (*) Nếu x>1 thì VT(*) 0, a, b, c là các số thực bất kì. 1,0 Khi đó a 2 b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu bằng xảy ra khi x = y = z . 0,25 2 (*) + Dễ thấy bđt trên suy ra từ bđt Bunhia * Vào bài chính Ta sẽ chứng minh 1 1 1 1 + 2 2 + 2 ≤ . 2 2 a +b +3 b +c +3 c +a +3 2 1 1 1 1  1  1  1 ⇔ − 2 ÷+  − 2 2 ÷+  − 2 ÷≥ 2 2 3 a +b +3 3 b +c +3 3 c +a +3 2 M= 2 a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a2 3 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a +b +3 b +c +3 c +a +3 2 ⇔P= 0,25 Giả sử a ≥ b ≥ c . ( a + b) ( a − b) a2 + b2 + Biến đổi a 2 + b 2 + 3 = . 2 2 2 a + b + 3 2 a 2 + b2 + 3 2 ( 2 ) ( ) Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P. Sau đó áp dung bđt (*) ta có: P≥ ( a + b + b + c + c + a) ( 2 + ) 4 a 2 + b 2 + c 2 + 18 ( a − b + b − c + a − c) ⇔P≥ ( ) 4 a 2 + b 2 + c 2 + 18 ( ) 4 a 2 + b 2 + c 2 + 18 4 ( a + b + c) + 4 ( a − c) 2 0,25 2 2 2 ( a + b + c) + 2( a − c) 2 ⇔ P≥ ( 2 ) 2 a2 + b2 + c2 + 9 Ta sẽ chứng minh 2( a + b + c) + 2( a − c) 2 ( ) 2 a +b +c +9 2 2 2 2 ≥ 3 2 2 ⇔ 4 ( a + b + c ) + 4 ( a − c ) ≥ 6 a 2 + b 2 + c 2 + 27 2 ( ⇔ 2 ( a + b + c) + 2 ( a − c) ≥ 3( a ( ) ) + ( a + b + c) ⇔ 4 ( a + b + c ) + 4 ( a − c ) ≥ 6 a 2 + b2 + c 2 + 2 ( a + b + c ) 2 2 2 2 2 + b2 + c2 ) 2 2 ⇔ −b + ab + bc − ca ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ( b − c ) ≥ 0 2 Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm. Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 0,25