Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận bình thạnh thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Hướng Dẫn Giải: ĐỀ THI HSG LỚP 9 – QUẬN BÌNH THẠNH – (2015-2016) Bài 1: (4 điểm) a) Rút gọn: A  13  2  5 1  2 2  13  2  5 1  2 2 A  13  2  5 1  2 2  13  2  5 1  2 2 . A > 0  A 2  13  2  5 1  2 2  2 13  2  5 1  2 2 . 13  2  5 1  2 2  13  2  5 1  2 2   A 2  26  2 2  2 13  2  2   5 1 2 2   2  A 2  26  2 2  2 169  26 2  2  25 1  2 2   A 2  26  2 2  2 146  24 2   A 2  26  2 2  2 12  2   A 2  26  2 2  2 12  2  2   A 2  50  A  5 2  do A > 0    Ta có:  x  x  1  y  y  1   1   x  1  x  x  1  x  y    x  1  x   y  y 1  x  b) Cho x  x 2  1 y  y2  1  1. Tính x + y. 2 2 2 2 2 2  y  y2  1  x 2  1  x   x   x   y2  1  x 2  1  x 2 2 1  x 1    1  y  1  y   1  y  1  y   Ta có: x  x 2  1 y  y2  1  1 x2 x2 2 2 2  x  x 2  1  y2  1  y Cộng vế theo vế (1) và (2), ta có:  y2  1  y  y2  1  y y2  1  y 2 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 y  y2  1  x  x 2  1  x 2  1  x  y2  1  y  x  y  x  y xy0 Bài 2: (5 điểm) Giải phương trình: a) 13  3x  3x  11  3x 2  24x  50 11 13 x 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 1  13  3x 14  3x    13  3x  2 2   3x  11  1  3x  11  10  3x  2 2 Điều kiện:  13  3x  3x  11  2  VT  2 Ta có: 3x 2  24x  50  3  x  4   2  VP  2 2 1  13  3x  Do đó, để dấu ‘’=’’ xảy ra khi 1  3x  11  x  4 x  4  0  Vậy S  4 b) x 2  2x  3   x  1 x 2  3x  3 Đặt t  x 2  3x  3, t  0  t 2  x 2  3x  3  x 2  t 2  3x  3 . Khi đó, phương trình trở thành: t 2  3x  3  2x  3   x  1 t  t 2  x  xt  t  t 2  xt  x  t  0  t  t  x   1 x  t   0   t  x  t  1  0 t  x  t  1 x  0 x  0   x 1 TH1: t = x  x 2  3x  3  x   2 2 x  1  x  3x  3  x TH2: t = 1  x 2  3x  3  1  x 2  3x  3  1   x  1 x  2   0  x  1 hay x  2  nhan  Vậy S  1; 2 c) 2x 2  x  9  2x 2  x  1  x  4 Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 2  1  71  2 a  2x  x  9  2  x    0 4 8   Đặt  2  1 7  2 b  2x  x  1  2  x     0 4 8   a 2  2x 2  x  9  a  b  a  b   x  4   2  a 2  b2  2x  8   a  b  a  b   2  x  4   2 2  b  2x  x  1 Phương trình trở thành:  a  b  a  b  ab 2  2  a  b    a  b  a  b    a  b  a  b  2   0  a  b  2  0  do a  b  0   a  b2  2x 2  x  9  2x 2  x  1  2  2x 2  x  9   2x 2  x  1  4 2x 2  x  1  4  2 2x 2  x  1  x  2  x  2  2 2 4  2x  x  1  x  4x  4  x  2 x  0   x  0    x  8 8  x  7    7  8 Vậy S  0;   7 Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a 1  b   b 1  4c   c 1  9a   12 abc . Ta có: a 1  b   b 1  4c   c 1  9a   12 abc  a  ab  b  4bc  c  9ca  12 abc   a  4bc    b  9ca    c  ab   12 abc Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a  4bc  2 a.4bc  4 abc  b  9ac  2 b.9ac  6 abc   a  4bc    b  9ca    c  ab   12 abc  c  ab  2 c.ab  2 abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 a 2 b2  a  b  b) i) Cho a, b, x, y là các số thực và x, y > 0. Chứng minh: .   x y xy 2 a 2 b2  a  b  Ta có :   x y xy 2 a 2 y  x  y   b 2 x  x  y  xy  a  b    xy  x  y  xy  x  y  2  a 2 xy  a 2 y 2  b 2 x 2  b 2 xy  a 2 xy  2abxy  b 2 xy  a 2 y 2  2abxy  b 2 x 2  0   ay  bx   0 (bất đẳng thức đúng) 2 ii) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng: x2 y2 z2 3    . x  yz y  xz z  xy 2 a 2 b2  a  b  Áp dụng bất đẳng thức , ta có:   x y xy 2  x  y x2 y2   x  yz y  xz x  yz  y  xz 2 x  y  x2 y2 z2 z2      x  yz y  xz z  xy x  yz  y  xz z  xy 2 1 a 2 b2  a  b  Áp dụng bất đẳng thức , ta có:   x y xy 2  x  y x  y  z z2   x  yz  y  xz z  xy x  y  z  xy  yz  xz Từ (1) và (2), ta suy ra: 2 2  2  x  y  z x2 y2 z2     x  yz y  xz z  xy x  y  z  xy  yz  xz 2 Ta dễ chứng minh:  3 xy  yz  xz  x  y  z  x  y  z  xy  yz  xz  2  x  y  z     1 1  x  y  z  xy  yz  xz 2  x  y  z   x  y  z 2 x  y  z  xy  yz   x  y  z x  y  z  xz 2  x  y  z  2 2 x  y  z  xy  yz  xz  xyz 2 Mà x  y  z  3 Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Bình Thạnh (15-16) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long Nên  x  y  z 2 x  y  z  xy  yz  xz Từ (3) và (4), ta có:  3 2 2015 -2016  4 x2 y2 z2 3    x  yz y  xz z  xy 2 Bài 4: (1 điểm) Giá bán của một hộp bút là 21250 đồng. Mừng ngày 30/4 người bán giảm giá lần thứ nhất. Đến ngày Quốc tế thiếu nhi người bán lại giảm giá một lần nữa, nên giá bán chỉ còn lại là 19176 đồng. Hỏi mỗi lần người bán giảm giá bao nhiêu phần trăm, biết rằng số phần trăm mỗi lần giảm giá là số chỉ có một chữ số. Gọi x% là số phần trăm giảm giá lần I 1  x, y  9, x,y  N  * Gọi y% là số phần trăm giảm giá lần II 21250x Số tiền giảm giá lần I : (đồng) 100 21250x  y  Số tiền giảm giá lần II :  21250  (đồng)  100  100   21250x  21250x  y  Theo đề bài, ta có phương trình : 21250     21250   19176  100  100    100  xy  100x  100y  976   x  100  y  100   9024 1 1  x, y  9 99  x  100  91  x, y  N*  Vì   * 99  y  100  91  x,y  N  x  100  94 x  100  96 x  6 x  4 Nên từ (1)   hay   hay   y  100  96  y  100  94 y  4 y  6 Vậy người bán giảm giá 2 lần, 1 lần 4%, 1 lần 6%. Bài 5: (4 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngồi đường tròn (O,R). Qua A vẽ đường thẳng (d)  OA. Gọi M là điểm bất kỳ trên (d). Từ M vẽ 2 tiếp tuyến ME và MF với đường tròn (O) (E, F là 2 tiếp điểm). Gọi N và B là giao điểm của EF với OM và OA. d M E D N O A B F C Trang 6 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Bình Thạnh (15-16)