Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố đà nẵng năm học 2015 2016(có đáp án)

S GIO DC V O TO THNH PH NNG Kè THI CHN SINH HC SINH GII LP 9 NM HC 2015 - 2016 Mụn thi: TON HNG DN CHM MễN TON LP 9 Di õy l s lc biu im ca thi Hc sinh gii lp 9. Cỏc giỏm kho tho lun thng nht thờm chi tit li gii cng nh thang im ca biu im ó trỡnh by. T chm cú th phõn chia nh thang im n 0,25 im cho tng ý ca thi. Tuy nhiờn, im tng bi, tng cõu khụng c thay i. Ni dung tho lun v ó thng nht khi chm c ghi vo biờn bn c th vic chm phỳc kho sau ny c thng nht v chớnh xỏc. Hc sinh cú li gii khỏc ỳng, chớnh xỏc nhng phi nm trong chng trỡnh c hc thỡ bi lm ỳng n ý no giỏm kho cho im ý ú. Vic lm trũn s im bi kim tra c thc hin theo quy nh ca B Giỏo dc v o to ti Quyt nh s 40/2006/BGD-T. - HNG DN CHM BI-í Cho biu thc M = 3a + 9a - 3 - a +1 + IM a -2 vi a 0, a ạ 1. a+ a -2 a + 2 1- a a) Rỳt gn biu thc M. b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca a biu thc M nhn giỏ tr nguyờn. Bi 1 Đ Ta cú M = 1.a Đ ị (0,75) M= Đ ị M= (3a + 3 a - 3) ( a + 1)( a -1) ( a - 2)( a + 2) + ( a -1)( a + 2) ( a -1)( a + 2) (1- a )( a + 2) (3a + 3 a - 3) - (a -1) - (a - 4) a +3 a +2 = ( a -1)( a + 2) ( a -1)( a + 2) ( a + 1)( a + 2) a +1 = ( a -1)( a + 2) a -1 a -1 + 2 2 = 1+ a -1 a -1 1.b 2 (0,75) Đ M nguyờn nguyờn a -1 l c ca 2 a -1 Đ a -1 ẻ {-1;1; 2} a ẻ {0;4;9} (do 0,25 0,25 0,25 M= Đ ị 1,50 0,25 0,25 a 0) 0,25 a) Gii phng trỡnh: x + 3 + 4 x - 1 + x + 8 + 6 x - 1 = 9 (1) ỡ ù x 2 + xy + xz = 48 ù ù b) Gii h phng trỡnh ùớxy + y 2 + yz = 12 (I) ù ù ù xz + yz + z 2 = 84. ù ợ Bi 2 Đ (1) 2.a Đ (1,00) Đ Đ 2,00 x -1 + 4 x -1 + 4 + x -1 + 6 x -1 + 9 = 9 ( x - 1 + 2)2 + ( x - 1 + 3)2 = 9 x -1 + 2 + x -1 + 3 = 9 x -1 = 2 x = 5 0,25 0,25 0,25 0,25 Đ Cng 3 phng trỡnh ca h ta c (x + y + z)2 = 144 x + y + z = 12 ỡ x(x + y + z) = 48 ù ù ù Đ Mt khỏc: (I) ớ y(x + y + z) = 12 kt hp vi trờn ta cú hai tng hp sau 2.b ù ù (1,00) ù ù ợz(x + y + z) = 84 Đ Vi x + y + z = -12 h cú nghim (x; y; z) = (-4; -1; -7) Đ Vi x + y + z = 12 h cú nghim (x; y; z) = (4;1; 7) 0,25 0,25 0,25 0,25 HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 1 . - HNG DN CHM BI-í IM a) Cho a = 144 2. 2... 2. 3 2 v b = 144 2. 2... 2. 3 2 . Chng minh rng a v b cú 244 244 2016 thừa số 2 Bi 3 2,0 3016 thừa số 2 cựng ch s hng n v. b) Cho hm s y = ax + a + 1 vi a l tham s, a ạ 0 v a ạ -1. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s a khong cỏch t gc ta O n th ca hm s t giỏ tr ln nht. 1,0 Đ Nhn xột: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 16 (8 tha s 2) 0,25 Đ 2016 chia ht cho 8 c 252 nh vy cú th phõn s a thnh 252 nhúm, mi nhúm cú giỏ tr bng 16 (cú hng n v l 6) nờn tớch ca 252 nhúm ny cng cú hng n v l 6 3.a (1,00) Đ 3016 chia ht cho 8 c 377 nh vy cú th phõn s b thnh 377 nhúm, mi nhúm cú giỏ tr bng 16 (cú hng n v l 6) nờn tớch ca 377 nhúm ny cng cú hng n v l 6 0,25 0,25 Đ Kt lun ổ a + 1 ửữ Đ th hm s ct cỏc trc ta ti: A ỗỗ; 0ữữ v B (0; a + 1) do a ạ 0 v a ạ -1 ỗố ứ a nờn A, B phõn bit v u khỏc gc toa O. Đ Tam giỏc vuụng OAB ti O nờn nu gi h l khong cỏch t O n th hm s thỡ 1 1 1 a2 1 a 2 +1 = + = + = (*) h 2 OA 2 OB2 (a + 1)2 (a + 1)2 (a + 1) 2 (a + 1) (**) a 2 +1 2a a 2 + 2a + 1 2a 2 Đ ị h = = 1 + Ê 1 + Ê 2 du ng thc xy ra khi a = 1 3.b 2 2 2 1 + a 1 + a 1 + a (1,00) Đ Vy khi a = 1 thỡ khong cỏch t O n th hm s l ln nht Đ ị h2 = 0,25 0,25 0,25 2 0,25 0,25 Đ Chỳ ý: ý (*) v (**) cú th thay bng hai ý sau: 1 1 a +1 1 (a + 1)2 Din tớch tam giỏc vuụng OAB l S = OA.OB = a +1 = 2 2 a 2 a (a + 1)2 a +1 + (a + 1)2 = 1+ a 2 2 a a a +1 2S ị khong cỏch t O n th hm s l: h = = AB 1+ a 2 Cnh huyn AB = OA 2 + OB2 = 0,25 0,25 Cho trc tam giỏc u ABC ni tip ng trũn (O). Trờn cung nh BC ly im M tựy ý. ng trũn (M ; MB) ct on thng AM ti D. Bi 4 a) Chng minh rng tam giỏc BDM l tam giỏc u. b) Chng minh rng MA = MB + MC. c) Chng minh rng khi M thay i trờn cung nh BC thỡ im D luụn luụn nm trờn mt ng trũn c nh cú tõm thuc ng trũn (O). 3,5 HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 2  - HNG DN CHM BI-í IM Đ Hỡnh v phc v hai cõu a v b A a) Chng minh BDM l tam giỏc u Đ MB = MD (bỏn kớnh ng trũn (M)) ã = BCA ã = 60o (cựng chn AB) ằ Đ BMD I D Đ Nờn tam giỏc BDM u b) Chng minh rng MA = MB + MC. Hai tam giỏc ABD v CBM bng nhau vỡ AB = CB; BD = BM ã = 60o - DBC ã = CBM ã v ABD O B 4 C Đ ị DA = MC Đ ị MA = MD + DA Đ M MD = MB M Đ Vy MA = MB + MC c) Chng minh rng khi M thay i trờn cung nh BC thỡ im D luụn luụn nm trờn mt ng trũn c nh cú tõm thuc ng trũn (O). Đ Gi I l giao im ca (O) vi phõn giỏc CO (trong tam giỏc u ABC) ằ v I l im c nh thuc (O) ị I l im chớnh gia ca cung nh AB Đ Đ Đ Đ Bi 5 ã (gúc ni tip chn cung AB ằ ca ng trũn (O)) ị MI l phõn giỏc BMD ị MI l trung trc on thng BD vỡ BDM l tam giỏc u ị ID = IB ị D luụn thuc ng trũn (I ; IB) c nh cú tõm thuc (O) Cho x + y + z = 0 v xyz ạ 0. Tớnh giỏ tr ca biu thc: 1 1 1 . P= 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 2 x +y -z y +z -x z +x -y 0,50 0,75 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 Đ Ta cú x + y + z = 0 ị x = -(y + z) ; y = -(z + x) v z = -(x + y) Đ ị x 2 = (y + z)2 ; y2 = (z + x)2 v z 2 = (x + y)2 1 1 1 Đ ị P= 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 x + y - (x + y) y + z - (y + z) z + x - (x + z) 2 1 1 1 Đ ị P= + + -2xy -2yz -2xz x+y+y Đ ị P= =0 -2xyz 0,25 0,25 0,25 0,25 --- Ht --- HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 3