Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận 3 thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 LỚP 9 Quận 3 (2015-20156) Bài 1 1 1 1 1 1 1 1 1    (a, b, c  0) Chứng minh 2015  2015  2015  2015 2015 a b c a bc a b c a  b  c2015 a) Cho Ta có:  a  b 1 1 1 1 1 1 1 1 ab          a b c a bc a b a bc c ab c a  b  c   1   ca  cb  c 2  ab  ab ab 1   0   a  b     0  a  b    0 ab c a  b  c ab c a  b  c abc a  b  c           a  b  b  c  c  a   0 1 1 1  1  2015  2015  2015 2015  1 1 1 1 a b c c TH1: a = -b, khi đó:   2015  2015  2015  2015 2015 1 1 a b c a  b  c 2015    a 2015  b 2015  c 2015 c 2015  1 1 1  1    2015 2015 2015 2015  1 1 1 1 a b c a  2015  2015  2015  2015 TH2: b = -c, khi đó:  2015 1 1 a b c a  b  c 2015     a 2015  b 2015  c 2015 a 2015 1 1 1  1  2015  2015  2015 2015  1 1 1 1 a b c b  2015  2015  2015  2015 TH3: c = -a, khi đó:  2015 1 1 a b c a  b  c 2015   c  a 2015  b 2015  c 2015 c 2015  1 1 1 1 Vậy 2015  2015  2015  2015 2015 a b c a  b  c2015 b) Rút gọn B  1  1 a a với x    2 a 1 a 1 x2  x 2a 1  x 2   (0  a  1)  1  1 a a  1  1 a a  Ta có: x     x2   2  (0  a  1)  2 a 1 a  4 a 1 a  1  1 a a  4 1  1 a a   x2 1   2  x2 1   2   4 a 1 a  4 4 a 1 a  1  x 1  2 2 Thế vào B   1 a a   1 a  a 2a 1  x 2 1 x2  x Trang 2    2 1  1 a a  x 2  1    2 a 1 a    , ta được: Học Sinh Giỏi Lớp 9 –Quận 3 (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 1  1 a a  2a    2 a 1 a  B 1  1 a a  1  1 a a        2 a 1 a  2  a 1 a  1 a  a a a a 1 a  1 a  1 B a a 1 a 1 a c) Tính : x  3 9  4 5  3 9  4 5 Ta có: x  3 9  4 5  3 9  4 5  x3  9  4 5  3  3 94 5  3 94 5  3  9  4 5. 3 9  4 5  9  4 5  x 3  18  3  x 1  x 3  3x  18  0   x  3  x 2  3x  6   0 2  3  15    x  3   x     2 4    x 3 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) x5  x 4  x3  x 2  x  2 Ta có: x5  x 4  x3  x 2  x  2  x5  x 4  x3  x 2  x  2  0  x 5  2x 4  x 4  2x 3  x 3  2x 2  x 2  2x  x  2  0  x4  x  2  x3  x  2  x 2  x  2  x  x  2   x  2  0   x  2   x 4  x 3  x 2  x  1  0 x  2  4 3 2  x  x  x  x  1  0 1 2 2 x   x  x2  Giải (1) : ta có: x  x  x  x  1  0   x 2      1   0 (vô lí) 2 2  2  4 b) 8x 2  3 2 1 5  x 2 Điều kiện: x  0 ; đặt t  1 1  t  0   x  2 , phương trình đã cho trở thành : x t 8 5 2  t   2t 5  5t 4  16  0   t  2   2t 3  3t 2  4t  4   0  t  2 4 t 2 1 Với t = 2  x  4 Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 –Quận 3 (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 1  x  2  y  1  c)  y   2 z   1 z  x  2  2015 -2016 1  2  3 Điều kiện : x  0, y  0, z  0, 1 Từ pt (1) ta suy ra y  2x 2x  1 Từ pt (3) ta suy ra z  x 1 1 1 x Thế vào pt (2), ta được:  2   2  4 2x  1 2x 2  x 2x  1 x 1 Điều kiện: x  2, x  2 2x  1  x  2  x  2  2  x  2x  1 Với điều kiện trên, pt (4) trở thành:   2  x  2x  1  2  x  2x  1  2x  1  x  2  x   2  2  x  2x  1  2x  1  2x  x 2  2  4x  2x 2  x  2   3x 2  6x  3  0  3  x  1  0 2  x 1 suy ra y =1 ; z =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y, z) = (1, 1, 1) Bài 3 Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: M  5x 2  2xy  2y2  14x  10y 1 Ta có : M  5x 2  2xy  2y2  14x  10y 1  2M  4y 2  4xy  20y  10x 2  28x  2  2M   2y   2  2y  x  5    x  5    x  5   10x 2  28x  2 2 2 2  2M   2y  x  5   9x 2  18x  23 2  2M   2y  x  5    3x  3  32 2 2 1  2 2  2y  x  5    3x  3  32   16  2 3x  3  0 x  1  16 . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi:   2y  x  5  0 y  2 M Vậy Mmax Bài 4: Chứng minh rằng 10n  18n  28 27, n  N Ta có : Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 –Quận 3 (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 10n  18n  28  10n  1  18n  27 = 10  1 10 n 1  10 n 2  ...  1  18n  27 =9  9  1   9  1  =9  9k  n   18n  27 n 1 n 2  ...  9  1  9  1  1  18n  27  2 =81k  27n  27 =27  3k  n  1 27 Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), các đường cao BI và CK cắt nhau tại H. Trên đoạn BH lấy điểm D sao cho ADC bằng 900 . Gọi F là giao điểm của BE và CD. Chứng minh 1 1 4 .   2 2 AD DF DE 2 A I K H D E F B C Gọi O là giao điểm của AF và DE. AD2  AI.AC  HTL    Dễ chứng minh được: AE 2  AK.AB  HTL   AD  AE  ADE cân tai A   AI.AC  AK.AB  AIB ∽ AKC  FDE  ADE  FDA  FED  AED  FEA  Ta có:   FDE  FED  FDE cân tại F  FD=FE 0 FDA  FEA  90  ADE  AED  ADE cân tại A  AD  AE Ta có:   AF là đường trung trực của đoạn thẳng DE FD  FE   AF  DE tại O  . O là trung điểm của DE. Xét ADF vuông tại D, ta có: DO là đường cao  1 1 1 4    2 2 2 AD DF DO DE 2 Bài 6: Cho tam giác ABC có ABC  ACB  500 . Lấy N là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho NBC  100 và NCB  200 . Chứng minh: tanANB.tanNBC  1 . Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 –Quận 3 (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 A OJ N K B C H Kẻ đường cao AH cắt BN tại O, AK vuông góc với BN tại K, CN cắt AK tại J. BOC cân tại O  OCH  OCN  100  ACO  OAC  400  OA  OC AON  BOH  800  OAJ  100  JAC  JCA  300  AJC cân tại J.  AJ  JC Mà OA  OC . Nên OJ là đường trung trực của AC.  OJ là phân giác của AOC    JOC  50 0 do AOC  100 0 . Mà NOC  200 (góc ngoài của OBC ) Nên JON  300  JNO  góc ngoài BNC  OJN cân t ại J  K là trung điểm của ON.  AON cân tại A  ANB  AON  800 Vậy tanANB.tanNBC  tan800.tan100  tan800.cot80 0  1 Bài 7: Trên cạnh BC của hình vuông ABCD lấy BE  BC ; trên tia đối của tia CD lấy F sao 3 BC . Gọi I là giao điểm của AE và BF. Chứng minh A, B, I, C cùng thuộc một 2 đường tròn. cho CF  A H B G K E D Trang 6 C I F Học Sinh Giỏi Lớp 9 –Quận 3 (2015-2016)