Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên tỉnh tuyên quang năm học 2012 2013(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN (Đáp án có 04 trang) Câu Câu 1 Hướng dẫn giải 1) Giải pt: x + 3 + 6 − x − ( x + 3)(6 − x) = 3 x + 3 ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 6 6 − x ≥ 0 đ/k:  Điểm 1,0 điểm 0,25 u = x + 3 , u, v ≥ 0 v = 6 − x u 2 + v 2 = 9 pt trở thành:  u + v − uv = 3 Đặt:  (u + v) 2 − 2uv = 9 ⇔  u + v = 3 + uv ⇒ (3+uv)2 - 2uv = 9 uv = 0 ⇔ uv = −4 ⇔ u = 0 ⇔ v = 0  x+3 = 0   6− x = 0 ⇔  x = −3 ⇔ x = 6 Vậy pt có nghiệm x=-3; x= 6 2) Giải hệ pt: x + y + z = 1  2  2 x + 2 y − 2 xy + z = 1 x + y = 1− z ⇔ 2  2 xy = z − 2( x + y ) − 1 x + y = 1− z ⇔ 2 2  2 xy = z − 2 z + 1 = (1 − z ) ⇔ 2xy = (x+y)2 ⇔ x2 + y2 = 0 ⇔ x=y=0; z=1 Hệ pt có nghiệm duy nhất: (x,y,z)=(0,0,1) 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1,0 điểm 3) Tìm nghiệm nguyên (x,y): x +x− y + y =3⇔ x − y +x+ y =3 ⇔ ( x − y )( x + y ) + x + y = 3 ⇔ ( x + y )( x − y + 1) = 3 2 2 2 2 Để phương trình có nghiệm nguyên thì: 0,5 Trường hợp 1: 3  x=  x + y = 1 x + y = 1    2 ⇔ ⇔  x − y +1 = 3 x − y = 2  y = −1  2 (loại) 0,25 Trường hợp 2: 3  x = x + y = 3 x + y = 3  2 ⇔ ⇔  x − y + 1 = 1 x − y = 0   y = 3  2 (loại) Trường hợp 3: −5  x=   x + y = −1  x + y = −1  2 ⇔ ⇔  (loại)  x − y + 1 = −3  x − y = −4 y = 3  2 0,25 Trường hợp 4: −5   x = 2  x + y = −3  x + y = −3 ⇔ ⇔   x − y + 1 = −1  x − y = − 2  y = −1  2 (loại) Vậy pt không có nghiệm nguyên Cho phương trình: x4 - 2(m2+2)x2 + m4 +3 = 0 1,0 điểm 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có 4 nghiệm phân biệt x4 - 2(m2+2)x2 + m4 +3 = 0 (1) 0,25 Đặt: t = x (t ≥ 0) pt trở thành: t2 - 2(m2+2)t + m4 +3 = 0 2 Câu 2 (2) Ta chứng tỏ (2) luôn có 2 nghiệm 0