Đề thi học sinh giỏi toán 10 có đáp án chi tiết

ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 10 THÁNG 04 NĂM 2016 CÂU NỘI DUNG VẮN TẮT ĐIỂM 3 2 2 Câu 1 Cho phương trình : x  3 m  1 x  2  m  4m  1 x  4m  m  1  0 Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1. 2.0 x3  3 m  1 x 2  2  m2  4m  1 x  4m  m  1  0 1   x  2   x 2   3m  1 x  2m  m  1  0 x  2  2  x   3m  1 x  2m  m  2   0 x  m 1 2    m  1  2    x  2m  Câu 2  2  1  m  1  2  1  m  ĐK bài toán 1  2m  2   2  m  1  2m m  1  Giải phương trình : x  1  7  x  x 2  6 x  13 * ĐK : 1  x  7 Cách 1 : VT *  1. x  1  1. 7  x  1  1 x  1  7  x   4 1.5 VP *   x 2  6 x  9   4   x  3  4  4 2   x 1  7  x  x  3  tm  Do đó *   x  3  0   Cách 2 : *  4  x2  6 x  9   x  1  4  4  x  3 2     x  1  2   7  y  2  0 2 x  3  0    x  1  2  x  3  tm    7x 2 Cách 3 : Liên hợp 2 lần  x 1  4  7  y  4 7  y  4  0 2 Câu 3  3x  y  2x  y 1  x  2  . y  Giải hệ phương trình :   y 2 . 3x  y  2 x 2  y 2  4 x 2    y  3x  y 0 ĐK : y  0, y  x 1 x x x  a    2.  . 1  3.  2.  1  y y y y  y Hệ   Đặt , ta có hệ  2 1 x x x 1 b   1  3.  2  1  4. .     y y y y  y   a  2b  1  3a  2a  1  2  1  3a  2a  4ab  1   a  2b  1 . 1  3a  2a 2  2a  4ab   a  2b  1   1  3a  2a  0  a  1  2b   1  3a  2a  a  1  2b   y. 1  x 2  1   x  y  2 thay vào 1 được y y 3 2  y  3 2  y  2 y  2  2  y   y  2. 1   1 y y y 2  y  y 0 2 y 2 y  4. 0   7. y 2  y 7  y   y 4  2 y  2  x  o  8 14 y   x   11 11 Thử lại chỉ có  x; y    0;2  thỏa mãn 1  3a  4a 2  1  3a  2a    a 1 x  y a  0 Thay vào 1 được 2  x  2   x  x  4  y  4 Kết luận : Hệ đã cho có hai nghiệm  x; y    0;2  ,  x; y    4;4  1.5 Câu 4 Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N 1 1 sao cho AM  AB , BN  BC . Gọi I là giao của AN và CM. Chứng minh 3 3 BI vuông góc với CM. 1.5 y B N M I A O Gọi O là trung điểm của AC  AC  OB x C  Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho O  0;0  , C 1;0  , B 0; 3   2 3  1 2 3   A  1;0  , M   ; , N  ;  3 3 3 3     Phương trình CM : 3 x  5 y  3  0 ; AN : 3 x  2 y  3  0 Câu 5   3 2 3  3 x  5y  3  0 Tọa độ I là nghiệm của hệ   I  ;    7 7   3 x  2y  3  0 3 5 3 1  5 , IB  Ta có CM   ;   ;   7 7 3 3   5 3  1 5 3 CM .IB  .     0  CM  IB . 3 7  3 7 Lưu ý : Thí sinh có thể chứng minh vuông góc theo sơ cấp hoặc phương pháp véc tơ. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có CD  2 AB  2 AD . Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho AB  3 AE , điểm F thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Biết E  2;4  , đường thẳng EF có phương trình 2 x  y  8  0 và đỉnh D thuộc đường thẳng 3x  y  8  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. 1.5 P A E B F D C Gọi P là điểm đối xứng với D qua A. Do BA  AD  AP nên DBP vuông tại B, DBC vuông tại B, suy ra P, B, C thẳng hàng. Vì EP  ED  EF nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp PDF  AED  DFP  DEBF nội tiếp  DEF  DBF  900  DE  EF Phương trình DE : x  2 y  6  0  D  2;2  DE 2  AD2  AE 2  10 AE 2  AE 2  2 A a;8  3a  , AE 2  2  A1;5 EB  2 EA  B  4;2  Câu 6 DC  2 AB  C  4; 4  Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  6 . Tìm giá trị lớn nhất abc  5ab  9bc  8ca  của biểu thức : Q   4a  3b  5b  4c  3c  5a  1.0  x, y , z  0 3 4 5  Đặt x  , y  , z    3 4 5 a b c x  y  z  6  9 8 5   3x  2 y  z a b c Q   3 4  4 5  5 3   x  y  y  z  z  x          a b  b c  c a  3 3x  2 y  z  3.Q  . y  z  x  y  x  z  2 x  y    x  z   1 3  3.Q     2y z  x  y  x  z   1 1 3 2      2  x  y y  z z  x  1 1 1 3 3 2 2          8 x y y z z x  1 3 4 5  1 3       .6  8 x y z  8 4 3 Q 16 3 5 Dấu = xảy ra khi  x; y; z    2;2;2    a; b; c    ;2;  2 2 3 Vậy maxQ  đạt được khi  a; b; c    2;2;2  16