Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện bù đăng tỉnh bình phước năm học 2015 2016(có đáp án)

HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016 Nội dung Bài 1 (5đ) a) Rút gọn A = x +1 x −2 + 2 x x +2 x ≥ 0  x ≥ 0 +) ĐK:  x − 2 ≠ 0 ⇔  x ≠ 4 4 − x ≠ 0  +) A = = x +1 x −2 + 2 x x +2 3x − 6 x ( x + 2)( x − 2) = + + Điểm 2+5 x . 4− x (*) 0,50 −2 − 5 x ( x + 2)( x − 2) 3 x ( x − 2) ( x + 2)( x − 2) = = ( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 2 − 5 x ( x + 2)( x − 2) 3 x 0,50 0,75 x +2 b) Tính giá trị của A khi x = 16 − 8 3 . 0,50 Ta có x = 16 − 8 3 = (2 3 − 2)2 ⇒ x = 2 3 − 2 ⇒A= 3(2 3 − 2) 2 3 −2+2 = 3 3 −3 3 = 3− 3 0,75 2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: x 2 = y 2 + y + 1 Vì y ≥ 0 và y nguyên ⇒ y 2 < y 2 + y + 1 ≤ ( y 2 + y + 1) + y = ( y + 1)2 0,50 ⇒ y 2 + y + 1 = ( y + 1)2 ⇒ y = 0 ⇒ x = 1 Vậy pt đã cho có nghiệm ( x; y) = (1;0) 1,00 0,50 2  y 2 − y + x 2 = 2 xy − x 1.Giải hệ phương trình:  2 (5đ) 2 2 x + x − y + y − 3 = 0 (1) (2) (1) Pt (1) ⇔ ( y 2 − 2 xy + x 2 ) − ( y − x ) = 0 ⇔ ( y − x )2 − ( y − x ) = 0 0,50 y = x ⇔ ( y − x )( y − x − 1) = 0 ⇔  y = x +1 x = 1⇒ y = 1 2 +) y = x thế vào (2) ta được x + 2 x − 3 = 0 ⇔  x = −3 ⇒ y = −3 0,25  0,50 x = 3 ⇒ y = 1+ 3 2 +) y = x + 1 thế vào (2) ta được x = 3 ⇔  0,50 Vậy hpt đã cho có 4 nghiệm ( x; y ) : (1;1) , (3;3) , ( 3;1 + 3), ( 3;1 − 3). 0,25 x = − 3 ⇒ y = 1− 3 2. Cho phương trình x 2 + 2mx + m 2 − 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m Ta có ∆ = 4m2 − 4(m 2 − 1) = 4 > 0, ∀m nên pt (1) có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm. S 0   1,00 0,50 Trang 2/4  −2 m < 0 x + x < 0 ⇔ 1 2 ⇔ 2  x1 x2 > 0 m − 1 > 0 m > 0  ⇔   m < −1 ⇔ m > 1   m > 1 Suy ra m ≤ 1 thì pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm. 0,50 0,50 0,50 3 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; (5đ) BE; CD cắt nhau ở H ( K ∈ BC , E ∈ AC , D ∈ AB ) . Vẽ đúng hình nền cho 0,5 điểm x A N E D H B K 0,50 O C M 1.Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp. +) ·BDC = ·BEC = 900 suy ra tứ giác BDEC nội tiếp +) ·BDH +·CKH = 180 0 suy ra tứ giác BDHK nội tiếp 2. Chứng minh AD. AB = AE. AC Ta có: µA chung và ·ADE = ·BCA (cùng bù ·BDE ) ⇒ ∆ ADE : ∆ ACB (g.g) ⇒ AD AE = ⇒ AD.AB = AE . AC AC AB (đpcm) 0,50 0,50 0,50 0,50 3. Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE +) tứ giác BDHK nội tiếp ⇒ ·DKH = ·DBH (1) +) tứ giác BDEC nội tiếp ⇒ ·DBH = ·ECH (2) +) tứ giác KHEC nội tiếp ⇒ ·EKH = ·ECH (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra ·DKA = ·EKA ( do H ∈ KA ) Suy ra KA là phân giác của góc ·DKE . 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN. +) Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) 1 ⇒ ·CAx = ·CBA (= sd»AC ) 2 · · Lại có CBA = DEA ( cùng bù góc ·DEC ) ⇒ ·CAx = ·DEA ⇒ Ax//DE mà Ax ⊥ OA ⇒ DE ⊥ OA (4) + Mặt khác: Trung điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC mà N là trung điểm của dây DE ( DE không đi qua tâm M) ⇒ MN ⊥ DE (5) 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 3/4 4 (2đ) Từ (4) và (5) suy ra MN //OA (đpcm) 0,25 Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có AB và CD không song song với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD . Chứng minh rằng: AB + CD > 2 MN D N A 0,25 I B C M Gọi I là trung điểm của AC, khi đó MI và NI lần lượt là đường trung bình của tam 1 2 0,50 1 2 giác ABC và ACD nên MI = AB và NI = CD 1 ⇒ MI + NI = ( AB + CD ) ⇒ AB + CD = 2( MI + NI ) 2 Mặt khác: Tam giác MNI có MN < MI + NI ⇒ 2 MN < 2( MI + NI ) = AB + CD Vậy AB + CD > 2 MN 0,25 0,50 5 Bài 5(3,0 điểm): (3đ) 1. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) chia hết cho 6. 0,25 Đặt M = (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) = (a3 − a) + (b3 − b) + (c3 − c) Ta có : a3 − a = a(a − 1)(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 nên a(a − 1)(a + 1) chia hết cho 6. Tương tự : (b3 − b) và (c3 − c) chia hết cho 6 Vậy M chia hết cho 6. 2. Cho x , y > 0 và x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =  1 1   1  1 x 2 + y2 + 4 ( x + y )2 +2 5 0,50 0,50 1 5 .4 xy + ≥ 4 + 2 + 5 = 11 4 xy ( x + y )2 Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = 0,25 2 + 4 xy . xy + 4 xy ÷+ ÷+  Ta có P =  2 2 + 2 xy ÷  4 xy x +y   4 xy ≥ 0,50 1 2 0,50 0,25 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 tại x = y = 1 2 0,25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng giám khảo vẫn cho điểm theo thang tương ứng. - - - Hết - - - Trang 4/4