Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố hải phòng năm học 2015 2016(có đáp án)

điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH. Gọi (O 1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH. Gọi D là trung điểm của đoạn BC; N là giao điểm thứ hai của (O 1) và (O2). Chứng minh: a) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ). b) ba điểm M, N, D thẳng hàng. 2. Trên dây cung AB của (O) (AB không đi qua tâm O) lấy hai điểm P và Q sao cho AP = PQ = QB. Vẽ bán kính OK, OH thứ tự qua điểm P và điểm Q. Chứng minh Bài 5. (1,0 điểm) Cho 2017 đường thẳng phân biệt đều cắt hai cạnh đối của một hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích là 1:2. Chứng minh rằng trong 2017 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. ---------Hết--------(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa. Tổng điểm bài thi: 10 điểm . Bài Bài 1 Đáp án Điểm 1a) (1,0 điểm) (2 điểm) 3 20 + 14 2 + Đặt u = 3 20 − 14 2 ;v= 0,25 đ u + v = 40 3 Ta có x = u + v và 3 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2) = 2 u.v = x = u + v ⇒ x 3 = u 3 + v 3 + 3uv(u + v) = 40 + 6x 0,25 đ 0,25 đ x 3 − 6x = 40 hay 0,25 đ . Vậy A = 2016. 1b) (1,0 điểm) x + y + z + xyz = 4 ⇔ 4(x + y + z) + 4 xyz = 16 0,25 đ Ta có x(4 − y)(4 − z) = x(16 − 4y − 4z + yz) Khi đó ta có: = x(yz + 4 xyz + 4x) 0,25 đ = x. ( yz + 2 x ) 2 = xyz + 2x (1) y(4 − z)(4 − x) = xyz + 2y Tương tự (2) 0,25 đ z(4 − x)(4 − y) = xyz + 2z (3) B = 2(x + y + z + xyz ) = 2.4 = 8 Từ (1), (2), (3) suy ra Bài 2 0,25 đ . 2a) (1,0 điểm) x1 + x 2 = − p; x1x 2 = 1 (2 điểm) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 0,25 đ x 3 + x 4 = −q; x 3x 4 = 1 ⇒ ( x 1 − x 3 ) ( x 2 − x 3 ) = x 1x 2 − x 3 ( x1 + x 2 ) + x 3 2 = 1 + x 3p + ( −1 − qx 3 ) (vì 0,25 đ 2 x 2 + qx + 1 = 0 ⇒ x 3 + qx 3 + 1 = 0 x3 là nghiệm của phương trình nên x 3 = −qx 3 − 1 2 ) ⇒ ( x1 − x 3 ) ( x 2 − x 3 ) = x 3 ( p − q ) ( 1) ( x1 + x 4 ) ( x 2 + x 4 ) = 1 − px 4 + ( −qx 4 − 1) = − x 4 ( p + q ) ( 2 ) Tương tự Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 0,25 đ 0,25 đ 2b) (1,0 điểm) Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 2x 2 + y 2 + 3xy − 7x − 5y + 6 = 0 ⇔ y 2 − (5 − 3x)y + 2x 2 − 7x + 6 = 0 0,25 đ ⇔ (y + 2x − 3)(y + x − 2) = 0   y + 2x − 3 = 0 (1) (I)  2 2   x + y + xy = 3 (2)  y+x −2 =0 (3) (II)  2 2   x + y + xy = 3 (4) Hệ đã cho đương đương với 0,25 đ , Giải hệ phương trình (I): Rút y ở (1) thay thế vào (2) ta được: x = 1 ⇒ y = 1 x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔   x = 2 ⇒ y = −1 0,25 đ Giải hệ phương trình (II): Rút y ở (3) thay thế vào (4) ta được: x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 0,25 đ (1; 1); (2; −1) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là Bài 3 3a (1,0 điểm) ( (2 điểm) ) ( 2016 x − y 2001 = 2015 y − z 2001 ) Ta có 0,25 đ ⇔ 2016x − 2015y = 2001(2016y − 2015z) (1) 0,25 đ 2001 Vì là số vô tỉ và x, y, z là các số nguyên dương nên ta có ( 1) ⇒ 2016x – 2015y = 2016y – 2015z = 0 2016x = 2015y ⇒ ⇒ xz = y 2 2016y = 2015z . x 2 + y 2 + z 2 = ( x + z ) − 2xz + y 2 2 Ta lại có: = ( x + z ) − y2 = ( x + y + z ) ( x − y + z ) 2 x 2 + y2 + z2 Vì là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1 nên x – y + z x 2 + y2 + z2 = x + y + z 0,25 đ = 1. Do đó x 2 ≥ x ; y2 ≥ y ; z 2 ≥ z Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z ⇒ x = y = z = 1. Suy ra ( Thử thỏa mãn) ) ( 2016 x − y 2001 = 2015 y − z 2001 x = y = z =1 vào ) (không 0,25 đ Vậy không tìm được x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3b) (1,0 điểm) 3x + yz = ( x + y + z ) x + yz = ( x + y ) ( x + z ) Ta có (vì x + y + z = 3) ( zx + xy ) 2 ≤ ( x + y) ( z + x ) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: ⇒ ( ) zx + xy ≤ ( x + y) ( y + z) 0,25 đ = 3x + yz ⇒ x + zx + xy ≤ x + 3x + yz ⇒ x x ≤ = x + 3x + yz x + zx + xy x x+ y+ z y ≤ y + 3y + zx Chứng minh tương tự ta được: y x+ y+ z ; 0,25 đ z z ≤ ; z + 3z + xy x+ y+ z Cộng các vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều ta được: 0,25 đ x y z + + ≤1 x + 3x + yz y + 3y + zx z + 3z + xy (đpcm) Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 1. Bài 4 0,25 đ Hình vẽ: (3 điểm) 4.1a (1,0 điểm) Tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp · · · · ⇒ KIM = KBM; HIM = HCM 0,25 đ · · · · · ⇒ PIQ = KIM + HIM = KBM + HCM Mà · · KBM = ICM 1 2 (cùng bằng sđ ¼ BM ) 0,25 đ · · HCM = IBM 1 2 (cùng bằng · · · ¼ ⇒ PIQ = ICM + IBM CM sđ ) · · · PMQ + ICM + IBM = 1800 Ta lại có · · ⇒ PMQ + PIQ = 1800 0,25 đ (tổng ba góc trong tam giác)