Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2014 2015(có đáp án)

S GD&T HI DNG CU P N V HNG DN CHM THI HC SINH GII TNH MễN TONLP 9 THCS NM HC 2014 2015 Lu ý: Thớ sinh lm theo cỏc khỏc ỳng vn cho im ti a. im bi thi lm trũn n 0,25 im PHN NI DUNG IM t a = 2+ a2 = 4 + 2 4 a) 1,0im 5+ 5 5+ 5 ,a >0 + 22 2 5+ 5 = 4+ 6 2 5 = 4+ 2 ( ) 0,25 2 5 1 = 3+ 5 a = 3+ 5 5 +1 5 1 6+ 2 5 6 2 5 1= 2 1 x = 3+ 5 3 5 1= 1 = 2 2 2 2 0,25 x = 2 1 x2 + 2 x 1 = 0 0,25 B = 2x3 + 3x2 4x + 2 B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1 0,25 x + 2014 + 2015 x 2014 x = y + 2014 + 2015 y 2014 y (1) KX: 2014 x; y 2014 Cõu1 2,0 im (1) 0,25 x + 2014 y + 2014 + 2015 x 2015 y + 2014 y 2014 x = 0 Nu x khỏc y v 2014 x; y 2014 thỡ x + 2014 + y + 2014 >0; 2015 x + 2015 y >0; 2014 x + 2014 y >0 , do ú (1) b) 1,0im 1 1 1 ( x y) + x + 2014 + y + 2014 2015 x + 2015 y 2014 x + 2014 ữ = 0 (2) yữ 0,25 Khi ú d chng t 1 1 >0 2014 x + 2014 y 2015 x + 2015 y M x y 0 nờn (2) vụ lý vỡ VT(2) luụn khỏc 0 Nu x=y d thy (1) ỳng. Vy x = y. ( 0,25 ) 0,25 3 x 3 + ( x + 1) x + 1 + 2 2 = x + x + 1 + 2 (1) KX: x 1 t: y = Cõu 2 2,0 im 0,25 x + 1; z = 2 Khi ú (1) cú dng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) Chng minh c (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0 a) 1,0 im Vi: x + y = 0 x + Vi: x + z = 0 x + Vi: y + z = 0 x +1 = 0 x +1 = x x = 1 5 ( Tha món) 2 2 = 0 x = 2 ( khụng tha món). x + 1 + 2 = 0 - vụ nghim Vy phng trỡnh cú nghim: x = 1 5 2 0,25 0,25 0,25 3 x 2 + xy 4 x + 2 y = 2 x ( x + 1) + y ( y + 1) = 4 2 2 2 3 x + xy 4 x + 2 y 2 = 0 2 x + xy y 5 x + y + 2 = 0 2 2 2 2 x + y + x + y 4 = 0 x + y + x + y 4 = 0 2 2 Ta cú: 2 x + xy y 5 x + y + 2 = 0 ( y + x 2 ) ( y 2 x + 1) = 0 b) 1,0 điểm 0.25 0.25 y = 2 x hoc y = 2 x 1 0.25 Vi y = 2 x thay vo (2) ta c: x2 2x +1 = 0 suy ra x = 1 Ta c nghim (1;1) y = 2 x 1 thay vo (2) ta c: 5x2 x 4 = 0 , suy ra x = 1; x = 4 5 0.25 4 13 ; ) 5 5 4 13 Vy h cú nghim (1;1) v ( ; ) 5 5 Ta c nghim (1;1) v ( Cõu 3 2,0 im Tỡm s nguyờn t p sao cho cỏc s 2 p 2 1; 2 p 2 + 3; 3 p 2 + 4 u l s nguyờn t. +) Nu p=7k+i; k,i nguyờn, i thuc tp { 1; 2; 3} . Khi ú p 2 chia cho 7 cú th d: 1;4;2 Xột p > 2 2 p 2 1; 2 p 2 + 3 & 3 p 2 + 4 > 7 a) 1.0 im 0.25 0.25 Nu p 2 chia cho 7 d 1 thỡ 3 p 2 + 4 chia ht cho 7 nờn trỏi GT Nu p 2 chia cho 7 d 4 thỡ 2 p 2 1 chia ht cho 7 nờn trỏi GT Nu p 2 chia cho 7 d 2 thỡ 2 p 2 + 3 chia ht cho 7 nờn trỏi GT +) Xột p=2 thỡ 3 p 2 + 4 =16 (loi) +) Xột p=7k, vỡ p nguyờn t nờn p=7 l nguyờn t, cú: 2 p 2 1 = 97; 2 p 2 + 3 = 101; 3 p 2 + 4 = 151 u l cỏc s nguyờn t Vy p =7 2 b) 2 2 2 2 1,0 điểm Gi thit 3 ( x 3) 18 y + 2 z + 3 y z = 54 (1) +) Lp lun z 2 M z M z 2 M z 2 9 (*) 3 3 9 (1) 3( x 3) + 2 z + 3 y ( z 6) = 54(2) (2) 54 = 3( x 3) 2 + 2 z 2 + 3 y 2 ( z 2 6) 3( x 3) 2 + 2.9 + 3 y 2 .3 ( x 3) 2 + 3 y 2 12 y 2 4 y 2 = 1; y 2 = 4 vỡ y nguyờn dng Nu y 2 = 1 y = 1 thỡ (1) cú dng: 2 2 2 2 3 ( x 3) + 5 z 2 = 72 5 z 2 72 z 2 2 0.25 0.25 0,25 0,25 0,25 72 z 2 = 9 z = 3 (vỡ cú(*)) 5 Khi ú 3 ( x 3) = 27 ( x 3) = 9 , x nguyờn dng nờn tỡm c x=6 2 2 Nu y 2 = 4 y = 2 (vỡ y nguyờn dng) thỡ (1) cú dng: 0,25 3 ( x 3) + 14 z 2 = 126 14 z 2 126 z 2 9 z 2 = 9 z = 3 (vỡ z nguyờn dng) 2 Suy ra ( x 3) 2 = 0 x = 3 (vỡ x nguyờn dng) x = 3 x = 6 ỏp s y = 2; y = 1 z = 3 z = 3 Cõu 4 3,0 im V hỡnh (1 trng hp) A N 0,25 D E P I a) 1,0 điểm O B H M C K F ã S BAC = ằ 1800 sd DE ằ sd DE = 600 2 0,25 ã Suy ra EOD = 600 nờn tam giỏc OED u suy ra ED = R. 0,25 ã APE = ã ADE (2 gúc ni tip chn cung AE) ã ABM = ã ADE (Cựng bự vi gúc EDC) Suy ra: ã ABM = ã APE nờn tam giỏc APE ng dng vi tam giỏc ABM b) 1,0 điểm 0,25 0,25 Nờn AE AM = AE. AB = AM . AP (1) AP AB 0,25 Tng t chng minh tam giỏc ANE ng dng vi tam giỏc ABF AE AF = AE. AB = AN . AF (2) AN AB 0,25 0,25 T (1) v (2) suy ra: AN.AF = AP.AM c) 1,0 điểm Xột I nm gia B, D( Nu I nm ngoi B,D thỡ vai trũ K vi DC s nh I vi BD) ã ã ã T giỏc BIHF, BDCF ni tip nờn FHK = FCK ( cựng bng FBD ), suy ra t ã giỏc CKFH ni tip nờn FKC = 900 . 0,25 0,25 DK BH = FK FH CK BI = Tng t tam giỏc CFK ng dng tam giỏc BFI nờn: FK FI DC BH BI = Suy ra: FK FH FI DC BD BH BD BI BH ID + = + = + FK FI FH FI FI FH FI ID HC DC BD BH HC BC = + = + = M suy ra: FI FH FK FI FH FH FH Lý lun tam giỏc DFK ng dng tam giỏc BFH nờn: Vy 0,25 BC BD CD 2 BC BC BD CD + + = + + nờn nh nht khi FH ln nht FH FI FK FH FH FI FK khi F l trung im cung BC 1 1 1 Cú xy + yz + zx = xyz + + = 1 (1) x y z a 2 b 2 ( a + b) 2 + (*) Ta chng minh vi x, y dng: x y x+ y a2 b2 y x + ữ( x + y ) (a + b) 2 a 2 + b 2 2ab (*) y x y x 0,25 0,25 2 Cõu 5 1,0 im x y x y x b =0 a= b a b ữ 0 luụn ỳng; = a y x y x y 12 12 (1 + 1) 2 22 = (" = " y : z = 1) p dng(*) ta cú: + y z y+z y+z 22 22 (2 + 2) 2 42 + = (" = " 2 y = y + z y = z ) 2 y y + z 3y + z 3y + z 42 42 (4 + 4) 2 64 + = (" = " 4 x = 3 y + z ) 4x 3y + z 4x + 3y + z 4x + 3y + z 64 42 22 12 12 4 3 1 + + + = + + (" = " 4 x = 3 y + z & y = z x=y=z) 4x + 3y + z 4x 2 y y z x y z Tng t: M = Vy M t GTLN l 1 khi x = y = z = 3( theo (1)) 8 --Ht-- 0,25 0,25 64 1 4 3 + + (" = " x = y = z ) x + 4 y + 3z x y z 64 3 1 4 + + (" = " x = y = z ) 3x + y + 4 z x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + ữ= ( 4 x + 3 y + z x + 4 y + 3z 3x + y + 4 z 8 x y z 8 0,25 theo (1))